Distribución Normal: Niveles de colesterol

**1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un adulto sano de la población tenga un nivel de colesterol superior a 250 mg/dl.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa la concentración de colesterol en sangre (en mg/dl). Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(190, 30)$$ Para calcular probabilidades de una variable normal cualquiera, debemos transformarla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**. 💡 **Tip:** Para tipificar una variable $X$, restamos la media $\mu$ y dividimos por la desviación típica $\sigma$: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$. Queremos calcular $P(X \gt 250)$: $$P(X \gt 250) = P\left(Z \gt \frac{250 - 190}{30}\right) = P\left(Z \gt \frac{60}{30}\right) = P(Z \gt 2)$$ $$\boxed{P(X \gt 250) = P(Z \gt 2)}$$

Como las tablas de la normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscando el valor $z = 2.00$ en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ Sustituimos para hallar el resultado final: $$P(X \gt 250) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 250) = 0.0228 \text{ (o un } 2.28\%)}$$

**2) [1.25 PUNTOS] Calcula qué nivel de colesterol solo superan el 1% de adultos sanos de dicha población.** En este apartado nos piden encontrar un valor $x_0$ tal que la probabilidad de que alguien tenga más de ese nivel sea del $1\% = 0.01$. Es decir, buscamos $x_0$ tal que: $$P(X \gt x_0) = 0.01$$ Esto es equivalente a decir que el $99\%$ de la población tiene un nivel inferior o igual a $x_0$: $$P(X \le x_0) = 0.99$$ Tipificamos el valor $x_0$ llamando $z_0 = \dfrac{x_0 - 190}{30}$: $$P\left(Z \le \frac{x_0 - 190}{30}\right) = 0.99$$ 💡 **Tip:** En este caso hacemos el proceso inverso: buscamos la probabilidad $0.99$ dentro de la tabla para hallar el valor de $z_0$ correspondiente.

Buscamos el valor más cercano a $0.9900$ en el cuerpo de la tabla $N(0, 1)$. El valor más aproximado corresponde a: $$z_0 = 2.33 \quad (P(Z \le 2.33) = 0.9901)$$ Ahora despejamos $x_0$ de la fórmula de la tipificación: $$\frac{x_0 - 190}{30} = 2.33$$ $$x_0 - 190 = 2.33 \cdot 30$$ $$x_0 - 190 = 69.9$$ $$x_0 = 190 + 69.9 = 259.9$$ Si usáramos una precisión mayor o interpolación ($z_0 \approx 2.326$), el valor sería ligeramente distinto, pero $2.33$ es el estándar en Bachillerato. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x_0 = 259.9 \text{ mg/dl}}$$