Geometría en el espacio: Rectas y áreas de triángulos

**1) [0,5 PUNTOS] Calcula la ecuación de la recta, $r'$, que pase por $A$ y $B$** Para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. Utilizaremos el punto $A(2, 1, 5)$ y el vector $\vec{v}_{r'}$ que une $A$ con $B$: $$\vec{v}_{r'} = \vec{AB} = B - A = (3 - 2, 4 - 1, 1 - 5) = (1, 3, -4)$$ Con el punto $A(2, 1, 5)$ y el vector director $(1, 3, -4)$, podemos escribir la ecuación de la recta $r'$ en forma paramétrica (usando un parámetro distinto a $\lambda$, por ejemplo $\mu$): $$r' \equiv \begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 1 + 3\mu \\ z = 5 - 4\mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación paramétrica de una recta que pasa por $P(x_0, y_0, z_0)$ con vector $\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$ es $x=x_0+v_1 t$, $y=y_0+v_2 t$, $z=z_0+v_3 t$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r' \equiv \begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 1 + 3\mu \\ z = 5 - 4\mu \end{cases}}$$

**2) [1 PUNTO] Determina la posición relativa de las rectas $r$ y $r'$.** Primero, extraemos los elementos característicos de cada recta: - Recta $r$: Punto $P_r(3, 4, 1)$ y vector director $\vec{v}_r = (-1, -3, -4)$. - Recta $r'$: Punto $P_{r'}(2, 1, 5)$ y vector director $\vec{v}_{r'} = (1, 3, -4)$. Comprobamos si los vectores directores son proporcionales: $$\frac{-1}{1} = \frac{-3}{3} \neq \frac{-4}{-4} \implies -1 = -1 \neq 1$$ Como los vectores no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, o bien se cruzan en el espacio o bien se cortan en un punto. 💡 **Tip:** Si los vectores directores son proporcionales, las rectas son paralelas o la misma. Si no lo son, estudiamos el rango de la matriz formada por los vectores y el vector que une puntos de ambas rectas.

Para distinguir si las rectas se cortan o se cruzan, analizamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_{r'}} = P_{r'} - P_r = (2 - 3, 1 - 4, 5 - 1) = (-1, -3, 4)$$ Calculamos el determinante de la matriz formada por $\vec{v}_r, \vec{v}_{r'}$ y $\vec{P_r P_{r'}}$: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_{r'}, \vec{P_r P_{r'}}) = \begin{vmatrix} -1 & -3 & -4 \\ 1 & 3 & -4 \\ -1 & -3 & 4 \end{vmatrix}$$ Observamos que la segunda columna es el triple de la primera ($C_2 = 3C_1$), por lo que el determinante es **0**. También podemos calcularlo por Sarrus: $$ = [(-1) \cdot 3 \cdot 4 + (-3) \cdot (-4) \cdot (-1) + (-4) \cdot 1 \cdot (-3)] - [(-4) \cdot 3 \cdot (-1) + (-3) \cdot 1 \cdot 4 + (-1) \cdot (-4) \cdot (-3)] $$ $$ = [-12 - 12 + 12] - [12 - 12 - 12] = -12 - (-12) = 0$$ Como el determinante es 0, los tres vectores son linealmente dependientes (coplanarios). Dado que $\text{rango}(\vec{v}_r, \vec{v}_{r'}) = 2$ (ya que no son proporcionales), las rectas están en el mismo plano y tienen un punto en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } r' \text{ se cortan en un punto (son secantes)}}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula el área del triángulo de vértices $A, B$ y el origen de coordenadas.** Sean los vértices $O(0, 0, 0)$, $A(2, 1, 5)$ y $B(3, 4, 1)$. El área del triángulo viene dada por la mitad del módulo del producto vectorial de dos de los vectores que parten de un mismo vértice, por ejemplo $\vec{OA}$ y $\vec{OB}$: $$\vec{OA} = (2, 1, 5), \quad \vec{OB} = (3, 4, 1)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}$ mediante el determinante: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$= \vec{i}(1 \cdot 1 - 5 \cdot 4) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 5 \cdot 3) + \vec{k}(2 \cdot 4 - 1 \cdot 3)$$ $$= \vec{i}(1 - 20) - \vec{j}(2 - 15) + \vec{k}(8 - 3) = -19\vec{i} + 13\vec{j} + 5\vec{k}$$ $$\vec{OA} \times \vec{OB} = (-19, 13, 5)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-19)^2 + 13^2 + 5^2} = \sqrt{361 + 169 + 25} = \sqrt{555}$$ Finalmente, el área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{\sqrt{555}}{2} \approx 11,78 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{555}}{2} \text{ unidades cuadradas}}$$