Estudio de una función cuadrática: derivada, monotonía, primitiva y área

**1) [0.25 PUNTOS] Calcula la derivada de $f(x)$.** La función dada es un polinomio de segundo grado: $f(x) = -x^2 + 4x$. Para derivarla, aplicamos las reglas básicas de derivación (potencias y suma): $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2) + \frac{d}{dx}(4x)$$ $$f'(x) = -2x^{2-1} + 4 \cdot 1$$ $$f'(x) = -2x + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $n x^{n-1}$ y la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = -2x + 4}$$

**2) [0.75 PUNTOS] Halla los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía, primero buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2.$$ Ahora analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico $x = 2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \text{Creciente (\uparrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\downarrow)} \end{array}$$ - En el intervalo $(-\infty, 2)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = -2(0) + 4 = 4 \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En el intervalo $(2, +\infty)$, tomamos $x=3$: $f'(3) = -2(3) + 4 = -2 \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. 💡 **Tip:** Una función es creciente si $f'(x) \gt 0$ y decreciente si $f'(x) \lt 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 2) \text{ y decreciente en } (2, +\infty)}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Calcula una primitiva de $f(x)$.** Una primitiva $F(x)$ es una función tal que $F'(x) = f(x)$. Calculamos la integral indefinida: $$F(x) = \int (-x^2 + 4x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + C = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + C.$$ Como nos piden "una" primitiva, podemos elegir cualquier valor para la constante $C$. Tomamos $C = 0$ por simplicidad. 💡 **Tip:** La primitiva de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2x^2}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula el área del recinto limitado por $f(x)$, las rectas $x = 1$, $x = 3$ y el eje OX de abscisas.** Primero comprobamos si la función corta al eje OX entre $x=1$ y $x=3$. Resolvemos $f(x)=0$: $$-x^2 + 4x = 0 \implies x(-x + 4) = 0 \implies x=0, x=4.$$ Como las raíces están fuera del intervalo $(1, 3)$, la función mantiene el mismo signo en todo el intervalo. Evaluamos en $x=2$ para confirmar: $f(2) = 4 \gt 0$, luego la función es positiva en todo el intervalo. El área $A$ se calcula mediante la integral definida: $$A = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x) \, dx$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** usando la primitiva hallada anteriormente: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{1}^{3} = F(3) - F(1)$$ Calculamos los valores: - $F(3) = -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) = -9 + 18 = 9$ - $F(1) = -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$ Restamos: $$A = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27 - 5}{3} = \frac{22}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Si la función fuera negativa en el intervalo, el área sería el valor absoluto de la integral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{22}{3} \approx 7.33 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=-x^2+4x", "color": "#2563eb" }, { "id": "x1", "latex": "x=1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "x3", "latex": "x=3", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{1 \\le x \\le 3\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -1, "top": 5 } } }