Ecuación matricial y rango con parámetros

**1) [0.5 PUNTOS] Estudia el rango de $A$ en función del parámetro $a$.** El rango de una matriz representa el número de filas o columnas linealmente independientes. Para una matriz $2 \times 2$, el rango será 2 si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ a & -2 \end{vmatrix} = (2) \cdot (-2) - (a) \cdot (-1) = -4 + a.$$ Analizamos los casos según el valor de $a$: - Si $|A| \neq 0 \implies a - 4 \neq 0 \implies a \neq 4$: Como el determinante es distinto de cero, las dos filas son linealmente independientes. $$\text{rang}(A) = 2$$ - Si $|A| = 0 \implies a = 4$: La matriz queda $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$. Como hay al menos un elemento distinto de cero (por ejemplo, el 2), el rango es al menos 1. Como el determinante es 0, las filas son proporcionales ($F_2 = 2F_1$). $$\text{rang}(A) = 1$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz cuadrada coincide con su orden si y solo si su determinante es distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 4, \text{rang}(A) = 2 \\ \text{Si } a = 4, \text{rang}(A) = 1 \end{cases}}$$

**2) [0.25 PUNTOS] Indica para que valores se puede calcular la inversa de $A$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Basándonos en el cálculo del apartado anterior: $$|A| = a - 4$$ Para que exista $A^{-1}$, necesitamos que: $$a - 4 \neq 0 \implies a \neq 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria y suficiente para que una matriz sea regular (invertible) es que su determinante sea no nulo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \neq 4}$$

**3) [0.75 PUNTOS] Despeja $X$ de la ecuación matricial.** Partimos de la ecuación: $$XA - 2X = A$$ Primero, sacamos factor común la matriz $X$. Como $X$ multiplica por la izquierda en ambos términos, factorizamos por la izquierda. Para el término $2X$, debemos introducir la matriz identidad $I$ para que la operación tenga sentido matricial: $$X(A - 2I) = A$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la derecha por la inversa de $(A - 2I)$, siempre que dicha inversa exista: $$X(A - 2I)(A - 2I)^{-1} = A(A - 2I)^{-1}$$ Como $(A - 2I)(A - 2I)^{-1} = I$ y $XI = X$: $$X = A(A - 2I)^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los factores es fundamental porque el producto no es conmutativo. Si factorizas $X$ por la izquierda, la inversa debe multiplicar por la derecha. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = A(A - 2I)^{-1}}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula $X$ para $a = 2$.** Sustituimos $a = 2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz $B = A - 2I$: $$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$$ Para hallar $B^{-1}$, calculamos su determinante y su traspuesta de la adjunta: $$|B| = (0)(-4) - (2)(-1) = 2$$ Como $|B| \neq 0$, existe $B^{-1}$. Matriz de adjuntos $Adj(B)$: $Adj(B) = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \implies (Adj(B))^t = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} (Adj(B))^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $X = A \cdot B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (2)(-4)+(-1)(-2) & (2)(1)+(-1)(0) \\ (2)(-4)+(-2)(-2) & (2)(1)+(-2)(0) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -8+2 & 2 \\ -8+4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -6 & 2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}$$