Probabilidad y Estadística 2021 Cantabria
Supervivencia de polluelos y Teorema de Bayes
Una determinada especie de aves siempre pone dos huevos, pero a la madre solo le es posible alimentar a un polluelo, el más fuerte de los dos. El polluelo del huevo que primero eclosiona tiene un 60% de probabilidad de ser el superviviente, mientras que el polluelo del huevo que eclosiona en segundo lugar tiene una probabilidad de sobrevivir del 30%.
1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo.
2) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos fundamentales relativos a un polluelo elegido al azar:
- $E_1$: El polluelo procede del huevo que eclosionó en **primer lugar**.
- $E_2$: El polluelo procede del huevo que eclosionó en **segundo lugar**.
- $S$: El polluelo es el **superviviente**.
- $\bar{S}$: El polluelo **no sobrevive**.
Como solo hay dos huevos, la probabilidad de que un polluelo cualquiera proceda del primero o del segundo es la misma:
$P(E_1) = 0.5$ y $P(E_2) = 0.5$.
Del enunciado obtenemos las probabilidades condicionadas:
- $P(S|E_1) = 0.60$ (Probabilidad de sobrevivir si eclosionó primero).
- $P(S|E_2) = 0.30$ (Probabilidad de sobrevivir si eclosionó segundo).
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de supervivencia
**1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo.**
Para calcular la probabilidad de que un polluelo sobreviva sin conocer su orden de eclosión, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(S) = P(E_1) \cdot P(S|E_1) + P(E_2) \cdot P(S|E_2)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(S) = (0.5 \cdot 0.6) + (0.5 \cdot 0.3)$$
$$P(S) = 0.3 + 0.15 = 0.45$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que llevan a él en el árbol.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S) = 0.45}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Bayes)
**2) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar.**
Si un ave es adulta, significa que **ha sobrevivido** (suceso $S$). Se nos pide la probabilidad de que proceda del segundo huevo ($E_2$) dado que sabemos que sobrevivió, es decir, $P(E_2|S)$.
Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E_2|S) = \frac{P(E_2 \cap S)}{P(S)} = \frac{P(E_2) \cdot P(S|E_2)}{P(S)}$$
Utilizamos el valor de $P(S)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(E_2|S) = \frac{0.5 \cdot 0.3}{0.45} = \frac{0.15}{0.45}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(E_2|S) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final y queremos saber cuál fue la causa más probable.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E_2|S) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$