Geometría en el espacio: planos, paralelismo y áreas

**1) [0.75 PUNTOS] Calcula la ecuación del plano, $\Pi$, que contiene a los puntos $A, B$ y $C$.** Para hallar la ecuación de un plano $\Pi$ que pasa por tres puntos $A, B$ y $C$, primero calculamos dos vectores directores que pertenezcan al plano, por ejemplo $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (-2, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(0 - (-1)) - \mathbf{j}(-1 - (-2)) + \mathbf{k}(1 - 0) = (1, -1, 1)$$ La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal $(1, -1, 1)$: $$1x - 1y + 1z + D = 0$$ Sustituimos el punto $A(1, 1, 0)$ para hallar $D$: $$1(1) - 1(1) + 1(0) + D = 0 \implies 1 - 1 + 0 + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\Pi: x - y + z = 0}$$

**2) [0.25 PUNTOS] Comprueba que el origen de coordenadas, $O$, está contenido en el plano $\Pi$.** El origen de coordenadas es el punto $O(0, 0, 0)$. Para comprobar si pertenece al plano $\Pi$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación obtenida en el apartado anterior: $$\Pi: x - y + z = 0$$ $$0 - 0 + 0 = 0$$ Como se cumple la igualdad $0 = 0$, el punto $O$ está contenido en el plano $\Pi$. 💡 **Tip:** Si el término independiente $D$ de la ecuación de un plano es cero, el plano siempre pasa por el origen.

**3) [0.5 PUNTOS] Comprueba que $\overrightarrow{AB}$ es paralelo a $\overrightarrow{OC}$ y que $\overrightarrow{AO}$ es paralelo a $\overrightarrow{BC}$.** Primero calculamos los componentes de cada vector: - $\overrightarrow{AB} = (-1, 0, 1)$ (calculado anteriormente). - $\overrightarrow{OC} = C - O = (-1 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$. - $\overrightarrow{AO} = O - A = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 0) = (-1, -1, 0)$. - $\overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 0, 0 - 1, 1 - 1) = (-1, -1, 0)$. Dos vectores son paralelos si sus coordenadas son proporcionales: 1. Para $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{OC}$: Como $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC}$, son idénticos y, por tanto, **paralelos**. 2. Para $\overrightarrow{AO}$ y $\overrightarrow{BC}$: Como $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BC}$, son idénticos y, por tanto, **paralelos**. Esto confirma que el cuadrilátero $ABCO$ es un paralelogramo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC} \text{ y } \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BC} \implies \text{Son paralelos}}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula el área del paralelogramo $ABCO$.** El área de un paralelogramo definido por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con origen común es el módulo de su producto vectorial: $Area = |\vec{u} \times \vec{v}|$. Usaremos los vectores $\overrightarrow{AB} = (-1, 0, 1)$ y $\overrightarrow{AO} = (-1, -1, 0)$: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AO} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AO} = \mathbf{i}(0 - (-1)) - \mathbf{j}(0 - (-1)) + \mathbf{k}(1 - 0)$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AO} = (1, -1, 1)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AO}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ 💡 **Tip:** El área del paralelogramo es el doble del área del triángulo formado por los mismos vectores. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{Area = \sqrt{3} \text{ unidades}^2}$$