Estudio de la función exponencial: derivada, monotonía, tangente y límites

**1) [0.5 PUNTOS] Calcula la derivada primera.** Para calcular la derivada de $f(x) = \frac{x}{e^x}$, aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$f'(x) = \frac{(x)' \cdot e^x - x \cdot (e^x)'}{(e^x)^2}$$ Derivamos cada término: - La derivada de $x$ es $1$. - La derivada de $e^x$ es $e^x$. Sustituyendo: $$f'(x) = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1 - x)}{e^{2x}}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $e^x$ (ya que $e^x \neq 0$): $$f'(x) = \frac{1 - x}{e^x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{1 - x}{e^x}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Halla los intervalos de crecimiento, y/o decrecimiento.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada. Primero buscamos los puntos críticos igualando $f'(x)$ a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{1 - x}{e^x} = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1$$ Como el denominador $e^x$ siempre es positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$, el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del numerador $1-x$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 1-x & + & 0 & - \\ e^x & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Función} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Un punto donde la derivada pasa de ser positiva a negativa es un máximo relativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 1) \text{ y Decreciente en } (1, +\infty)}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $x = 2$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Para $a = 2$, necesitamos calcular $f(2)$ y $f'(2)$: 1. **Punto de tangencia:** $f(2) = \frac{2}{e^2}$. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** $f'(2) = \frac{1 - 2}{e^2} = -\frac{1}{e^2}$. Sustituimos en la fórmula: $$y - \frac{2}{e^2} = -\frac{1}{e^2}(x - 2)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = -\frac{1}{e^2}x + \frac{2}{e^2} + \frac{2}{e^2} \implies y = -\frac{x}{e^2} + \frac{4}{e^2}$$ O bien: $$y = \frac{4 - x}{e^2}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada de la función en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{4 - x}{e^2}}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula $\lim_{x \to \infty} f(x)$.** Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$$ Al sustituir $x$ por $\infty$, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x}$$ Ahora evaluamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = \frac{1}{\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se puede usar cuando tenemos indeterminaciones de tipo $0/0$ o $\infty/\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to \infty} f(x) = 0}$$ *Nota: Esto indica que $y = 0$ es una asíntota horizontal de la función por la derecha.*