Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

Para discutir el sistema según los valores del parámetro $\lambda$, escribimos las matrices del sistema: la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$. $$A = \begin{pmatrix} \lambda^2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} \lambda^2 & 3 & 3\lambda \\ 3 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda^2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (\lambda^2 \cdot 1) - (3 \cdot 3) = \lambda^2 - 9$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$\lambda^2 - 9 = 0 \implies \lambda^2 = 9 \implies \lambda = \pm 3$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, es compatible indeterminado; y si los rangos son distintos, es incompatible.

**1) [1 PUNTO] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso.** Si $\lambda = 3$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 9 & 3 & 9 \\ 3 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera fila es el triple de la segunda ($F_1 = 3F_2$). Por tanto, el determinante de cualquier submatriz de orden 2 es cero y $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 1$. Como el rango es menor que el número de incógnitas ($1 \lt 2$), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). Para resolverlo, nos quedamos con la ecuación más sencilla: $3x + y = 3$. Despejamos una variable en función de un parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$: Si $x = \alpha$, entonces $y = 3 - 3\alpha$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 3 \implies \text{Solución: } \begin{cases} x = \alpha \\ y = 3 - 3\alpha \end{cases} \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$

**2) [1 PUNTO] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario.** Si $\lambda \neq 3$ y $\lambda \neq -3$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que $\text{rang}(A) = 2$ y $\text{rang}(A^*) = 2$. Al coincidir el rango con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado** (solución única). Resolvemos el sistema por el método de sustitución o la regla de Cramer. Despejamos $y$ de la segunda ecuación: $$y = 3 - 3x$$ Sustituimos en la primera: $$\lambda^2x + 3(3 - 3x) = 3\lambda$$ $$\lambda^2x + 9 - 9x = 3\lambda \implies x(\lambda^2 - 9) = 3\lambda - 9$$ $$x = \frac{3(\lambda - 3)}{\lambda^2 - 9} = \frac{3(\lambda - 3)}{(\lambda - 3)(\lambda + 3)} = \frac{3}{\lambda + 3}$$ Calculamos $y$: $$y = 3 - 3\left(\frac{3}{\lambda + 3}\right) = 3 - \frac{9}{\lambda + 3} = \frac{3(\lambda + 3) - 9}{\lambda + 3} = \frac{3\lambda + 9 - 9}{\lambda + 3} = \frac{3\lambda}{\lambda + 3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{3, -3\} \implies \text{Solución: } x = \frac{3}{\lambda + 3}, \, y = \frac{3\lambda}{\lambda + 3}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución.** Si $\lambda = -3$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 9 & 3 & -9 \\ 3 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 2$. En este caso, como hay coeficientes no nulos, $\text{rang}(A) = 1$. Calculamos ahora el rango de la ampliada $A^*$ buscando un menor de orden 2 con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & -9 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (1 \cdot (-9)) = 9 + 9 = 18 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo dentro de la ampliada, $\text{rang}(A^*) = 2$. Como $\text{rang}(A) = 1 \neq \text{rang}(A^*) = 2$, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = -3 \implies \text{No tiene solución}}$$