Distribución normal: probabilidad e inversión de parámetros

**a) La probabilidad de que $X \in [6, 10]$. (1.5 puntos)** En primer lugar, identificamos que la variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de parámetros $\mu = 10$ y $\sigma = 2$, denotado como $X \sim N(10, 2)$. Para calcular cualquier probabilidad asociada a $X$, debemos **tipificar** la variable para convertirla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la transformación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 10}{2}$$ 💡 **Tip:** La tipificación permite trasladar cualquier problema de una distribución normal general a la normal estándar, cuyos valores están tabulados o proporcionados en el enunciado.

Queremos hallar $P(6 \le X \le 10)$. Aplicamos la tipificación a los límites del intervalo: $$P(6 \le X \le 10) = P\left(\frac{6 - 10}{2} \le Z \le \frac{10 - 10}{2}\right)$$ $$P(6 \le X \le 10) = P\left(\frac{-4}{2} \le Z \le \frac{0}{2}\right) = P(-2 \le Z \le 0)$$ Por las propiedades de la función de distribución, la probabilidad de un intervalo se calcula como: $$P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$$ Por tanto: $$P(-2 \le Z \le 0) = P(Z \le 0) - P(Z \le -2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \le 0) = 0.5$ siempre en la normal estándar, ya que la campana de Gauss es simétrica respecto al cero.

Como las tablas solo suelen mostrar valores positivos de $Z$, aplicamos la propiedad de simetría para el valor negativo: $$P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Sustituimos los valores conocidos del enunciado ($P(Z \le 0) = 0.5$ y $P(Z \le 2) = 0.9772$): $$P(6 \le X \le 10) = 0.5 - (1 - 0.9772)$$ $$P(6 \le X \le 10) = 0.5 - 0.0228 = 0.4772$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(6 \le X \le 10) = 0.4772}$$

**b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la media coincide pero la probabilidad del 80 % se alcanza en el valor $X \le 12$. ¿Cuál es la nueva desviación típica? (1 punto)** Ahora la media se mantiene $\mu = 10$, pero la desviación típica $\sigma$ es una incógnita. Se nos indica que: $$P(X \le 12) = 0.80$$ Tipificamos la expresión, manteniendo $\sigma$ como variable: $$P\left(Z \le \frac{12 - 10}{\sigma}\right) = 0.80$$ $$P\left(Z \le \frac{2}{\sigma}\right) = 0.80$$ 💡 **Tip:** Cuando buscamos un parámetro desconocido (como $\sigma$ o $\mu$), debemos encontrar primero el valor de $Z$ en la tabla que corresponde a la probabilidad dada.

Consultamos los valores de la normal estándar proporcionados en el enunciado para encontrar qué valor de $z$ cumple $P(Z \le z) = 0.80$. Observamos que: $$F(0.8416) = 0.8 \implies z = 0.8416$$ Igualamos nuestro valor tipificado al valor $z$ obtenido: $$\frac{2}{\sigma} = 0.8416$$ Despejamos la nueva desviación típica $\sigma$: $$\sigma = \frac{2}{0.8416} \approx 2.3764$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma \approx 2.3764}$$