Probabilidad y Estadística 2021 Asturias
Probabilidad de fallos en ascensores
Bloque 4.A En un edificio hay dos ascensores. Cada vecino, cuando utiliza el ascensor, lo hace en el primero el 60 % de las veces y en el segundo el 40 %. El porcentaje de fallos del primer ascensor es del 3 % y del segundo es del 8 %.
a) Un vecino usa un ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el ascensor falle? (1.25 puntos)
b) Otro día, un vecino coge un ascensor y le falla. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo? (1.25 puntos)
Paso 1
Definición de eventos y diagrama de árbol
**a) Un vecino usa un ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el ascensor falle? (1.25 puntos)**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A_1$: El vecino utiliza el primer ascensor.
- $A_2$: El vecino utiliza el segundo ascensor.
- $F$: El ascensor falla.
- $\bar{F}$: El ascensor no falla.
A partir de los datos del enunciado, conocemos las siguientes probabilidades:
- $P(A_1) = 0.60$
- $P(A_2) = 0.40$
- $P(F|A_1) = 0.03$
- $P(F|A_2) = 0.08$
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que el ascensor falle, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de fallar en cada uno de los dos ascensores posibles:
$$P(F) = P(A_1) \cdot P(F|A_1) + P(A_2) \cdot P(F|A_2)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(F) = (0.60 \cdot 0.03) + (0.40 \cdot 0.08)$$
$$P(F) = 0.018 + 0.032 = 0.05$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan al suceso deseado (en este caso, fallo) nos da la probabilidad total de dicho suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F) = 0.05}$$
(Es decir, hay un 5 % de probabilidad de que el ascensor falle).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Otro día, un vecino coge un ascensor y le falla. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo? (1.25 puntos)**
En este apartado, se nos pide una probabilidad a posteriori: sabiendo que el ascensor ha fallado ($F$), queremos saber cuál es la probabilidad de que fuera el segundo ($A_2$). Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A_2|F) = \frac{P(A_2 \cap F)}{P(F)} = \frac{P(A_2) \cdot P(F|A_2)}{P(F)}$$
Ya conocemos todos los datos necesarios:
- $P(A_2) \cdot P(F|A_2) = 0.40 \cdot 0.08 = 0.032$
- $P(F) = 0.05$ (calculado en el apartado anterior)
Sustituimos y resolvemos:
$$P(A_2|F) = \frac{0.032}{0.05} = 0.64$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes es fundamental cuando tenemos el resultado final (el fallo) y queremos investigar la causa o el origen (qué ascensor era).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A_2|F) = 0.64}$$
(Es decir, si el ascensor falla, hay un 64 % de probabilidad de que se trate del segundo ascensor).