Geometría en el espacio: Rectas, planos y perpendicularidad

**a) Un punto $C \in r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el ángulo recto en $B$. (1.25 puntos)** Como el punto $C$ pertenece a la recta $r$, sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones paramétricas de la misma. Por tanto, el punto $C$ tiene la forma: $$C(1, 1 + \lambda, 1 + \lambda)$$ Para que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en el vértice $B$, los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$ deben ser perpendiculares. Esto implica que su producto escalar debe ser igual a cero: $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Calculamos las componentes de los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$: 1. Vector $\vec{BA}$: $$\vec{BA} = A - B = (1, 1, 0) - (0, 0, 2) = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 2) = (1, 1, -2)$$ 2. Vector $\vec{BC}$ (en función de $\lambda$): $$\vec{BC} = C - B = (1, 1 + \lambda, 1 + \lambda) - (0, 0, 2) = (1 - 0, 1 + \lambda - 0, 1 + \lambda - 2)$$ $$\vec{BC} = (1, 1 + \lambda, \lambda - 1)$$ $$\boxed{\vec{BA} = (1, 1, -2), \quad \vec{BC} = (1, 1 + \lambda, \lambda - 1)}$$

Aplicamos el producto escalar e igualamos a cero para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1) \cdot (1) + (1) \cdot (1 + \lambda) + (-2) \cdot (\lambda - 1) = 0$$ Operamos en la ecuación: $$1 + 1 + \lambda - 2\lambda + 2 = 0$$ $$4 - \lambda = 0 \implies \lambda = 4$$ Sustituimos el valor de $\lambda = 4$ en las coordenadas del punto $C$: $$C(1, 1 + 4, 1 + 4) = (1, 5, 5)$$ ✅ **Resultado (punto C):** $$\boxed{C(1, 5, 5)}$$

**b) El plano $\pi$ que pasa por $A$ y $B$ y es paralelo a $r$. (1.25 puntos)** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores (no paralelos). En este caso: 1. Como el plano pasa por $A$ y $B$, contiene al vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (0, 0, 2) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 2)$$ 2. Como el plano es paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{d_r}$ también es un vector director del plano. De las ecuaciones paramétricas de $r$ obtenemos: $$\vec{d_r} = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a una recta, el vector director de la recta es paralelo al plano, por lo que puede usarse como uno de los vectores que definen la dirección del plano.

El vector normal al plano $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores hallados: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{d_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(-1 - 2) - \mathbf{j}(-1 - 0) + \mathbf{k}(-1 - 0)$$ $$\vec{n_\pi} = -3\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (-3, 1, -1)$$ $$\boxed{\vec{n_\pi} = (-3, 1, -1)}$$

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal: $$-3x + y - z + D = 0$$ Para hallar $D$, hacemos que el plano pase por el punto $A(1, 1, 0)$: $$-3(1) + 1(1) - 1(0) + D = 0$$ $$-3 + 1 + D = 0 \implies -2 + D = 0 \implies D = 2$$ La ecuación del plano es $-3x + y - z + 2 = 0$. Multiplicando por $-1$ para una forma más usual: $$3x - y + z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{3x - y + z - 2 = 0}$$