Posición relativa de dos rectas, plano paralelo y distancias

Para trabajar con las rectas $r$ y $s$, primero identificamos un punto y un vector director para cada una. **Recta $r$:** La ecuación está en forma continua: $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 0}{1}$. - Punto $P_r = (-1, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (3, -2, 1)$ **Recta $s$:** La ecuación está dada como intersección de dos planos. Para obtener su vector director y un punto, podemos parametrizarla haciendo $y = \lambda$: $$\begin{cases} x = -1 - 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Punto $P_s = (-1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-2, 1, 0)$ 💡 **Tip:** Para pasar de la forma implícita a la paramétrica, basta con asignar un parámetro a una de las variables (en este caso $y$) y despejar las demás.

**a) Comprueba que las rectas se cruzan. (0.75 puntos)** Dos rectas se cruzan si sus vectores directores no son paralelos y el vector que une un punto de cada recta es linealmente independiente respecto a los directores. 1. **Estudio de la dirección:** ¿Son $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ paralelos? Comprobamos la proporcionalidad de sus componentes: $$\frac{3}{-2} \neq \frac{-2}{1} \neq \frac{1}{0}$$ Como no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. 2. **Estudio del determinante:** Calculamos el vector que une los puntos: $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - (-1), 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1)$. Calculamos el determinante formado por $[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]$: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\text{det} = [3 \cdot 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) \cdot (-1)] - [0 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) \cdot (-2)]$$ $$\text{det} = (3 + 0 + 2) - (0 + 0 + 4) = 5 - 4 = 1$$ Como el determinante es distinto de cero ($\text{det} = 1 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) Obtenga el plano $\pi$ que contiene a $s$ y es paralelo a la recta $r$.** El plano $\pi$ está determinado por: - Un punto de la recta $s$: $P_s = (-1, 0, 1)$. - El vector director de $s$: $\vec{v}_s = (-2, 1, 0)$. - El vector director de $r$ (ya que el plano es paralelo a $r$): $\vec{v}_r = (3, -2, 1)$. El vector normal al plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos vectores: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_s \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(1 - 0) - \vec{j}(-2 - 0) + \vec{k}(4 - 3) = (1, 2, 1)$$ La ecuación del plano es $1(x - (-1)) + 2(y - 0) + 1(z - 1) = 0$: $$x + 1 + 2y + z - 1 = 0 \implies x + 2y + z = 0$$ ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{\pi : x + 2y + z = 0}$$

**Halla la distancia entre el punto $P = (-1, 1, 0)$ de la recta $r$ y el plano $\pi$ (1.25 puntos)** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos $P(-1, 1, 0)$ y $\pi: x + 2y + z = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|1(-1) + 2(1) + 1(0)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 2 + 0|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(P, \pi) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia punto-plano):** $$\boxed{d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0.408 \text{ u}}$$

**c) Calcula la distancia entre las rectas. (0.5 puntos)** Como se ha comprobado en el apartado b), el plano $\pi$ contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$. Por definición, la distancia entre dos rectas que se cruzan es igual a la distancia de cualquier punto de una de ellas al plano que contiene a la otra y es paralela a la primera. Por tanto: $$d(r, s) = d(P_r, \pi)$$ Dado que el punto $P = (-1, 1, 0)$ proporcionado en el apartado b) es precisamente un punto de la recta $r$, la distancia ya ha sido calculada en el paso anterior. Podemos verificarlo también con la fórmula general de distancia entre rectas que se cruzan: $$d(r, s) = \frac{|\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Sustituimos los valores hallados anteriormente: $$d(r, s) = \frac{|1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ 💡 **Tip:** Si ya has calculado el plano paralelo en un apartado anterior, no es necesario volver a aplicar la fórmula compleja; basta con calcular la distancia de un punto al plano. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{6}}{6} \text{ u}}$$