Optimización del producto de tres números

Para resolver el problema, empezamos definiendo los tres números reales positivos como $x$, $y$ y $z$. Según el enunciado, se deben cumplir las siguientes condiciones: 1. **Suma de los números:** $x + y + z = 90$ 2. **Uno es la media de los otros dos:** Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $y$ es la media aritmética de $x$ y $z$: $$y = \frac{x + z}{2}$$ 3. **Restricción de positividad:** $x, y, z \gt 0$. El objetivo es maximizar la función del producto: $$P(x, y, z) = x \cdot y \cdot z$$

Utilizamos la condición de la media para simplificar el sistema. Si $y = \frac{x+z}{2}$, entonces: $$2y = x + z$$ Sustituimos esta expresión ($x + z = 2y$) en la ecuación de la suma total: $$(x + z) + y = 90 \implies 2y + y = 90 \implies 3y = 90$$ Despejando $y$: $$y = \frac{90}{3} = 30$$ Como $y$ es un valor constante ($y=30$), la suma de los otros dos números debe ser: $$x + z = 60 \implies z = 60 - x$$ 💡 **Tip:** Al fijar una de las variables gracias a las condiciones del enunciado, el problema de optimización se simplifica de tres variables a una sola.

Ahora expresamos el producto $P$ en función de una sola variable, $x$, sustituyendo los valores de $y$ y $z$ encontrados: $$P(x) = x \cdot 30 \cdot (60 - x)$$ $$P(x) = 30(60x - x^2) = 1800x - 30x^2$$ Dado que los números deben ser positivos, el dominio de nuestra función es $0 \lt x \lt 60$. $$\boxed{P(x) = 1800x - 30x^2}$$

Para hallar el máximo, derivamos la función $P(x)$ e igualamos a cero: $$P'(x) = 1800 - 60x$$ Buscamos los puntos críticos: $$1800 - 60x = 0 \implies 60x = 1800 \implies x = \frac{1800}{60} = 30$$ El valor crítico obtenido es $x = 30$.

Para asegurar que en $x = 30$ existe un máximo relativo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$P''(x) = -60$$ Como $P''(30) = -60 \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 30$. También podemos observar el crecimiento y decrecimiento mediante una tabla de signos para $P'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 30) & 30 & (30, 60) \\ \hline P'(x) & + & 0 & - \\ \hline P(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, la curva es cóncava hacia abajo y el punto es un máximo.

Una vez hallado $x = 30$, calculamos los valores de las otras variables: - $y = 30$ - $z = 60 - x = 60 - 30 = 30$ Los tres números son $30$, $30$ y $30$. Verificamos que son positivos y que su suma es $30 + 30 + 30 = 90$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 30, \quad y = 30, \quad z = 30}$$