Parábolas: tangentes comunes y área entre curvas

**a) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que en el punto de abscisa $x = 2$ las dos parábolas tengan la misma recta tangente. Calcula dicha recta tangente. (1 punto)** Para que dos funciones tengan la misma recta tangente en un punto de abscisa $x = x_0$, deben cumplirse dos condiciones: 1. Las funciones deben pasar por el mismo punto: $y_1(x_0) = y_2(x_0)$. 2. Las funciones deben tener la misma pendiente (derivada) en ese punto: $y'_1(x_0) = y'_2(x_0)$. Identificamos las funciones y sus derivadas: - $y_1(x) = x^2 - 2x + 3 \implies y'_1(x) = 2x - 2$ - $y_2(x) = ax^2 + b \implies y'_2(x) = 2ax$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en dicho punto.

Aplicamos las condiciones en el punto de abscisa $x = 2$: **Igualdad de pendientes ($y'_1(2) = y'_2(2)$):** $$y'_1(2) = 2(2) - 2 = 2$$ $$y'_2(2) = 2a(2) = 4a$$ $$4a = 2 \implies a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ **Igualdad de ordenadas ($y_1(2) = y_2(2)$):** $$y_1(2) = 2^2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$$ $$y_2(2) = a(2^2) + b = 4a + b$$ Sustituimos el valor de $a = 1/2$: $$4\left(\frac{1}{2}\right) + b = 3 \implies 2 + b = 3 \implies b = 1$$ ✅ **Resultados de los parámetros:** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = 1}$$

Ya sabemos que en $x = 2$, el punto de tangencia es $(2, 3)$ y la pendiente es $m = 2$. Usamos la ecuación punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ $$y - 3 = 2(x - 2)$$ $$y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1$$ ✅ **Resultado de la recta tangente:** $$\boxed{y = 2x - 1}$$

**b) Para $a = 1, b = 1$ esboza el recinto limitado por las parábolas entre el eje $Y$ y el punto de corte entre ellas. Calcula el área del mismo. (1.5 puntos)** Con $a = 1$ y $b = 1$, las funciones son: - $y_1 = x^2 - 2x + 3$ - $y_2 = x^2 + 1$ Buscamos el punto de corte igualando las funciones: $$x^2 - 2x + 3 = x^2 + 1$$ $$-2x = 1 - 3 \implies -2x = -2 \implies x = 1$$ El recinto está delimitado por el eje $Y$ ($x = 0$) y el punto de corte ($x = 1$). Para saber qué función está por encima en el intervalo $(0, 1)$, evaluamos en $x = 0.5$: - $y_1(0.5) = 0.25 - 1 + 3 = 2.25$ - $y_2(0.5) = 0.25 + 1 = 1.25$ Como $y_1 > y_2$, la función superior es $y_1$.

A continuación se muestra el esbozo de las dos parábolas y el área sombreada entre ellas desde $x=0$ hasta $x=1$.

El área se calcula como la integral definida de la diferencia de las funciones (superior menos inferior) en el intervalo $[0, 1]$: $$A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx$$ $$A = \int_{0}^{1} [(x^2 - 2x + 3) - (x^2 + 1)] dx$$ $$A = \int_{0}^{1} (-2x + 2) dx$$ Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -x^2 + 2x \right]_{0}^{1}$$ $$A = [-(1)^2 + 2(1)] - [-(0)^2 + 2(0)]$$ $$A = [-1 + 2] - [0] = 1$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un valor negativo, revisa cuál es la función superior o el orden de los límites de integración. ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = 1 \text{ u}^2}$$