Sistemas de ecuaciones matriciales y matriz inversa

**a) Escribe el sistema de ecuaciones $AX = X$ en la forma $BX = 0$. (0.5 puntos)** Partimos de la igualdad $AX = X$. Para agrupar los términos con la incógnita $X$ en un solo lado, restamos $X$ en ambos miembros: $$AX - X = 0$$ Recordando que $X = I \cdot X$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, podemos sacar factor común por la derecha: $$(A - I)X = 0$$ Definimos la matriz $B$ como $B = A - I$. Calculamos sus elementos sustituyendo $A$ e $I$: $$B = \begin{pmatrix} a & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 \end{pmatrix}$$ Por lo tanto, el sistema en la forma $BX = 0$ es: $$\boxed{\begin{pmatrix} a-1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar factor común en matrices, la matriz identidad $I$ sustituye al "1" escalar para que la operación de resta de matrices sea posible.

**b) Estudia para qué valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones. (1 punto)** El sistema $BX = 0$ es un **sistema homogéneo**. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Para que tenga **infinitas soluciones** (sistema compatible indeterminado), el rango de la matriz $B$ debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre cuando el determinante de la matriz $B$ es igual a cero: $$|B| = \begin{vmatrix} a-1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|B| = [(a-1) \cdot (-1) \cdot (a-1) + 0 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1] - [0 + 0 + 0]$$ $$|B| = -(a-1)^2 + 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-(a-1)^2 + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 1$$ $$a-1 = \pm \sqrt{1} \implies a-1 = \pm 1$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a - 1 = 1 \implies a = 2$ 2. $a - 1 = -1 \implies a = 0$ 💡 **Tip:** En sistemas homogéneos, si $|B| \neq 0$ el sistema es Compatible Determinado (solo solución trivial). Si $|B| = 0$ el sistema es siempre Compatible Indeterminado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0 \text{ y } a = 2}$$

**c) Para $a = 0$ calcula, si existe, la inversa de $A$. (1 punto)** Primero, escribimos la matriz $A$ para $a=0$: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Para que exista la inversa $A^{-1}$, el determinante de $A$ debe ser distinto de cero. Lo calculamos por Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = [0 + 0 + (-1)(-1)(1)] - [0 + 0 + 0] = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, **la matriz A es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz es regular o invertible si y solo si su determinante es no nulo.

Utilizaremos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^t$. 1. Hallamos la matriz de los adjuntos $Adj(A)$ calculando los menores de cada elemento: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la adjunta: $$[Adj(A)]^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 3. Como $|A| = 1$, la inversa es directamente la traspuesta de la adjunta: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$