Sistema de ecuaciones: precios de viajes turísticos

**a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos. Y calcula, si es posible, dicho precio. (1.5 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: precio de un viaje al Caribe (en euros). - $y$: precio de un viaje a las Maldivas (en euros). - $z$: precio de un viaje a Tailandia (en euros). A partir de los datos de las ventas a las agencias, planteamos las ecuaciones: 1. Agencia A: $10x + 10y + 10z = 12000$ 2. Agencia B: $10x + 20z = 13000$ 3. Agencia C: $10x + 10y = 7000$ Podemos simplificar el sistema dividiendo cada ecuación por 10 para facilitar los cálculos: $$\begin{cases} x + y + z = 1200 & (E_1)\\ x + 2z = 1300 & (E_2)\\ x + y = 700 & (E_3) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que sea posible, simplifica las ecuaciones dividiendo por el máximo común divisor de sus coeficientes para trabajar con números más manejables.

Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución o reducción. Observamos que de la tercera ecuación $(E_3)$ y la primera $(E_1)$ podemos despejar $z$ directamente. Restamos la ecuación $(E_3)$ a la $(E_1)$: $$(x + y + z) - (x + y) = 1200 - 700$$ $$z = 500$$ Ahora sustituimos el valor de $z$ en la ecuación $(E_2)$: $$x + 2(500) = 1300$$ $$x + 1000 = 1300 \implies x = 300$$ Finalmente, sustituimos el valor de $x$ en la ecuación $(E_3)$ para hallar $y$: $$300 + y = 700 \implies y = 400$$ Los precios individuales son: - Caribe: $x = 300$ € - Maldivas: $y = 400$ € - Tailandia: $z = 500$ € ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{x = 300 \text{ €}, \quad y = 400 \text{ €}, \quad z = 500 \text{ €}}$$

**b) Si le obligasen a rebajar un 20 % el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería? (0.5 puntos)** Calculamos primero la rebaja unitaria en el viaje al Caribe: $$\text{Rebaja} = 20\% \text{ de } 300 = 0,20 \cdot 300 = 60 \text{ € por viaje.}$$ Para saber cuánto dinero perdería en total, debemos contar cuántos viajes al Caribe vende el operador en total entre las tres agencias: - Agencia A: 10 viajes. - Agencia B: 10 viajes. - Agencia C: 10 viajes. - Total de viajes al Caribe = $10 + 10 + 10 = 30$ viajes. La pérdida total es el número de viajes multiplicado por la rebaja de cada uno: $$\text{Pérdida} = 30 \text{ viajes} \cdot 60 \text{ €/viaje} = 1800 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** El porcentaje se aplica sobre el valor inicial. Una rebaja del $20\%$ significa que el nuevo precio es el $80\%$ del original ($300 \cdot 0,8 = 240$ €). ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Perdería } 1800 \text{ €}}$$

**c) ¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 % del viaje al Caribe y así recaudar el mismo dinero? (se mantiene el precio del viaje a Tailandia). (0.5 puntos)** Para recaudar lo mismo, el aumento de ingresos en los viajes a las Maldivas debe ser igual a la pérdida sufrida en los viajes al Caribe (que hemos calculado en 1800 €). Primero, calculamos el número total de viajes a las Maldivas vendidos: - Agencia A: 10 viajes. - Agencia B: 0 viajes. - Agencia C: 10 viajes. - Total de viajes a las Maldivas = $10 + 10 = 20$ viajes. Sea $y'$ el nuevo precio de las Maldivas. Queremos que el ingreso adicional cubra los 1800 € perdidos: $$20 \cdot (y' - y) = 1800$$ $$20 \cdot (y' - 400) = 1800$$ Dividimos por 20: $$y' - 400 = \frac{1800}{20} = 90$$ $$y' = 400 + 90 = 490 \text{ €}$$ De esta forma, al subir el precio de las Maldivas a 490 €, se recaudan $20 \cdot 90 = 1800$ € extra, compensando exactamente la pérdida del Caribe. ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{y' = 490 \text{ €}}$$