Distribución normal y cálculo de parámetros

**a) La probabilidad de que $X \leq 20$. (1.25 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$, que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu=30, \sigma=10)$$ Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar $N(0, 1)$, debemos realizar el proceso de **tipificación**. La variable tipificada $Z$ se obtiene restando la media y dividiendo por la desviación típica: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ En nuestro caso, para $X = 20$: $$Z = \frac{20 - 30}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ para cualquier distribución normal.

Queremos calcular $P(X \leq 20)$. Tras tipificar, buscamos: $$P(X \leq 20) = P(Z \leq -1)$$ Como la distribución normal es simétrica respecto al 0, sabemos que $P(Z \leq -1) = P(Z \geq 1)$. Para poder usar los valores de la tabla proporcionada, transformamos la expresión utilizando el suceso contrario: $$P(Z \leq -1) = 1 - P(Z \leq 1)$$ Consultamos el valor en el enunciado: $F(1) = P(Z \leq 1) = 0.8413$. Sustituimos: $$P(X \leq 20) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \leq 20) = 0.1587}$$

**b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la probabilidad del 50 % se alcanza en el valor $X \leq 35$. y la probabilidad del 75 % se alcanza en el valor $X \leq 40$. ¿Cuáles son las nuevas media y desviación típica? (1.25 puntos)** Ahora tenemos una nueva variable $X' \sim N(\mu, \sigma)$ donde $\mu$ y $\sigma$ son incógnitas. Se nos dan dos condiciones: 1. $P(X' \leq 35) = 0.50$ 2. $P(X' \leq 40) = 0.75$ Analizamos la primera condición tipificando: $$P\left(Z \leq \frac{35 - \mu}{\sigma}\right) = 0.50$$ En la distribución normal estándar $N(0,1)$, el valor cuya probabilidad acumulada es $0.50$ es exactamente $0$, ya que la media divide a la distribución en dos partes iguales (el valor central). Por tanto: $$\frac{35 - \mu}{\sigma} = 0 \implies 35 - \mu = 0 \implies \mu = 35$$ 💡 **Tip:** En cualquier distribución normal, la media, la mediana y la moda coinciden. Por eso, el valor que deja el 50% a su izquierda es siempre la media $\mu$.

Utilizamos la segunda condición: $P(X' \leq 40) = 0.75$. Tipificamos sabiendo ya que $\mu = 35$: $$P\left(Z \leq \frac{40 - 35}{\sigma}\right) = 0.75 \implies P\left(Z \leq \frac{5}{\sigma}\right) = 0.75$$ Buscamos en la tabla del enunciado qué valor de $z$ corresponde a una probabilidad acumulada de $0.75$. El enunciado indica que $F(0.6745) = 0.75$. Entonces: $$\frac{5}{\sigma} = 0.6745$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{5}{0.6745} \approx 7.4129$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 35, \quad \sigma \approx 7.4129}$$