Probabilidad y Estadística 2021 Asturias
Probabilidad compuesta y probabilidad total con urnas
Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja se extrae al azar un dado de la caja C. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:
a) La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. (0.75 puntos)
b) La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. (0.75 puntos)
c) La probabilidad de que el dado sea rojo. (1 punto)
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos elementales según la extracción de la bola (Caja A) y la posterior extracción del dado (Caja B o C):
- $B_N$: Extraer bola negra de la caja A.
- $B_R$: Extraer bola roja de la caja A.
- $D_N$: Extraer dado negro.
- $D_R$: Extraer dado rojo.
Calculamos las probabilidades iniciales basándonos en la composición de las cajas:
- **Caja A:** 4 negras, 6 rojas (Total 10) $\Rightarrow P(B_N) = \frac{4}{10}$, $P(B_R) = \frac{6}{10}$.
- **Caja B (si sale bola negra):** 6 negros, 2 rojos (Total 8) $\Rightarrow P(D_N|B_N) = \frac{6}{8}$, $P(D_R|B_N) = \frac{2}{8}$.
- **Caja C (si sale bola roja):** 2 negros, 4 rojos (Total 6) $\Rightarrow P(D_N|B_R) = \frac{2}{6}$, $P(D_R|B_R) = \frac{4}{6}$.
Representamos el proceso mediante un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Apartado a): Probabilidad de bola y dado rojos
**a) La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. (0.75 puntos)**
Este suceso corresponde a la intersección de sacar una bola roja de la caja A y, posteriormente, un dado rojo de la caja C.
Aplicamos la regla del producto:
$$P(B_R \cap D_R) = P(B_R) \cdot P(D_R|B_R)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(B_R \cap D_R) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{6} = \frac{24}{60} = \frac{4}{10} = 0.4$$
💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la intersección en un árbol es el producto de las probabilidades de las ramas del camino.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B_R \cap D_R) = 0.4}$$
Paso 3
Apartado b): Probabilidad de mismo color
**b) La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. (0.75 puntos)**
El suceso "mismo color" ocurre en dos casos mutuamente excluyentes:
1. Bola negra y dado negro ($B_N \cap D_N$).
2. Bola roja y dado rojo ($B_R \cap D_R$).
Calculamos la probabilidad de cada caso y sumamos:
$$P(\text{Mismo color}) = P(B_N \cap D_N) + P(B_R \cap D_R)$$
$$P(B_N \cap D_N) = P(B_N) \cdot P(D_N|B_N) = \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{8} = \frac{24}{80} = 0.3$$
$$P(B_R \cap D_R) = 0.4 \text{ (calculado en el apartado anterior)}$$
Por tanto:
$$P(\text{Mismo color}) = 0.3 + 0.4 = 0.7$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Mismo color}) = 0.7}$$
Paso 4
Apartado c): Probabilidad total del dado rojo
**c) La probabilidad de que el dado sea rojo. (1 punto)**
Para calcular la probabilidad de que el dado sea rojo independientemente de la bola, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
El dado es rojo si sacamos bola negra y luego dado rojo (de la caja B) o si sacamos bola roja y luego dado rojo (de la caja C):
$$P(D_R) = P(B_N \cap D_R) + P(B_R \cap D_R)$$
$$P(D_R) = P(B_N) \cdot P(D_R|B_N) + P(B_R) \cdot P(D_R|B_R)$$
Calculamos el primer término:
$$P(B_N \cap D_R) = \frac{4}{10} \cdot \frac{2}{8} = \frac{8}{80} = 0.1$$
Sumamos ambos resultados:
$$P(D_R) = 0.1 + 0.4 = 0.5$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las hojas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, todos los finales con $D_R$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D_R) = 0.5}$$