Geometría en el espacio: rectas, planos y distancias

**a) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$. (0.75 puntos)** Para hallar las ecuaciones paramétricas, resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones implícitas de la recta $r$ en función de un parámetro $\lambda$. Tenemos el sistema: $$r : \begin{cases} x + y + z = 0 \quad (1) \\ x + z = 0 \quad (2) \end{cases}$$ De la ecuación $(2)$, podemos despejar $z$ en función de $x$: $$z = -x$$ Sustituimos este valor en la ecuación $(1)$: $$x + y + (-x) = 0 \implies y = 0$$ Si llamamos $x = \lambda$ (donde $\lambda \in \mathbb{R}$), obtenemos las coordenadas de cualquier punto de la recta: - $x = \lambda$ - $y = 0$ - $z = -\lambda$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con resolver el sistema dejando dos variables en función de la tercera (que será nuestro parámetro). ✅ **Resultado:** $$\boxed{r : \begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = -\lambda \end{cases}}$$

**b) La distancia de $r$ a $P$ y el punto $Q \in r$ donde se alcanza dicha distancia. (1 punto)** El punto $Q$ de la recta $r$ más cercano a $P(1, 0, 1)$ es su proyección ortogonal. Un punto genérico de la recta es $Q(\lambda, 0, -\lambda)$. El vector $\vec{PQ}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$. 1. **Vector director de $r$**: De las paramétricas, $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$. 2. **Vector $\vec{PQ}$**: $$\vec{PQ} = Q - P = (\lambda - 1, 0 - 0, -\lambda - 1) = (\lambda - 1, 0, -\lambda - 1)$$ 3. **Condición de perpendicularidad** (producto escalar nulo): $$\vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (\lambda - 1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-\lambda - 1) \cdot (-1) = 0$$ $$\lambda - 1 + \lambda + 1 = 0 \implies 2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en el punto genérico: $$\boxed{Q(0, 0, 0)}$$

La distancia de $P$ a la recta $r$ es el módulo del vector $\vec{PQ}$ calculado con el valor de $\lambda = 0$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$ para $\lambda = 0$: $$\vec{PQ} = (0 - 1, 0, -0 - 1) = (-1, 0, -1)$$ La distancia es: $$d(P, r) = |\vec{PQ}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta es la mínima distancia posible, que siempre se mide sobre el segmento perpendicular (el que une el punto con su proyección $Q$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{2} \text{ unidades}}$$

**c) La ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y está a la misma distancia de $P$ que $r$. (0.75 puntos)** La distancia de un punto $P$ a un plano $\pi$ que contiene a una recta $r$ es siempre menor o igual que la distancia de $P$ a dicha recta ($d(P, \pi) \le d(P, r)$). Para que se cumpla la igualdad $d(P, \pi) = d(P, r)$, el plano $\pi$ debe ser perpendicular al segmento $PQ$ en el punto $Q$. Es decir, el vector $\vec{PQ}$ debe ser el vector normal del plano $\pi$. 1. **Vector normal del plano**: $\vec{n}_\pi = \vec{PQ} = (-1, 0, -1)$. Podemos usar $(1, 0, 1)$ por comodidad. 2. **Punto del plano**: Como contiene a $r$, el plano debe pasar por $Q(0, 0, 0)$. La ecuación del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$1(x - 0) + 0(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x + z = 0$$ Observamos que el plano $x+z=0$ es precisamente una de las ecuaciones que definen la recta $r$ en el enunciado, por lo que efectivamente la contiene. 💡 **Tip:** Un plano que contiene a una recta y maximiza la distancia a un punto externo es aquel cuyo vector normal es perpendicular a la recta y al segmento de mínima distancia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi : x + z = 0}$$