Geometría en el espacio: Tetraedro y planos

**a) El área del triángulo limitado por los puntos $A, B$ y $C$. (0.5 puntos)** El área de un triángulo definido por tres puntos $A, B$ y $C$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. Primero, obtenemos los vectores: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (0-3, 2-0, 0-0) = (-3, 2, 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (0-3, 0-0, 6-0) = (-3, 0, 6)$$ Calculamos el producto vectorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ mediante el determinante: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 6 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (12 - 0)\mathbf{i} - (-18 - 0)\mathbf{j} + (0 - (-6))\mathbf{k} = 12\mathbf{i} + 18\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (12, 18, 6)$$ El área es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 18^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 324 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{504}$$ Simplificando la raíz ($504 = 36 \cdot 14$): $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por los vectores; para el triángulo, tomamos la mitad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 3\sqrt{14} \text{ u}^2 \approx 11.22 \text{ u}^2}$$

**b) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A, B$ y $C$. (0.75 puntos)** Para obtener la ecuación de un plano necesitamos un punto (usaremos $A(3,0,0)$) y un vector normal $\vec{n}_\pi$. Como los puntos $A, B$ y $C$ están en el plano, el producto vectorial calculado anteriormente $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ es perpendicular al plano. Vector normal hallado: $\vec{n} = (12, 18, 6)$. Podemos simplificarlo dividiendo entre 6 para trabajar con números más sencillos: $$\vec{n}_\pi = (2, 3, 1)$$ La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las coordenadas del vector normal: $$2x + 3y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $A(3, 0, 0)$: $$2(3) + 3(0) + 0 + D = 0 \implies 6 + D = 0 \implies D = -6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 2x + 3y + z - 6 = 0}$$

**c) El valor de $\alpha$ para que el vector $\overrightarrow{AD}$ sea perpendicular al plano $\pi$ anterior. (0.75 puntos)** Para que un vector sea perpendicular a un plano, dicho vector debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (2, 3, 1)$. Primero obtenemos el vector $\overrightarrow{AD}$: $$\overrightarrow{AD} = D - A = (\alpha - 3, 3 - 0, 1 - 0) = (\alpha - 3, 3, 1)$$ Para que $\overrightarrow{AD} \parallel \vec{n}_\pi$, sus componentes deben ser proporcionales: $$\frac{\alpha - 3}{2} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1}$$ De la igualdad $\frac{3}{3} = 1$, igualamos la primera fracción: $$\frac{\alpha - 3}{2} = 1 \implies \alpha - 3 = 2 \implies \alpha = 5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 5}$$

**d) Para $\alpha = 5$, el punto $D'$ simétrico de $D$ respecto al plano $\pi$. (0.5 puntos)** Con $\alpha = 5$, el punto es $D(5, 3, 1)$. Para hallar el simétrico $D'$ respecto a $\pi: 2x + 3y + z - 6 = 0$, seguimos estos pasos: 1. **Recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $D$:** El vector director de la recta es el normal del plano: $\vec{v}_r = (2, 3, 1)$. $$r: \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = 3 + 3\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ 2. **Punto de intersección $M = r \cap \pi$ (proyección de $D$):** Sustituimos las ecuaciones de la recta en el plano: $$2(5 + 2\lambda) + 3(3 + 3\lambda) + (1 + \lambda) - 6 = 0$$ $$10 + 4\lambda + 9 + 9\lambda + 1 + \lambda - 6 = 0$$ $$14\lambda + 14 = 0 \implies \lambda = -1$$ Calculamos $M$ sustituyendo $\lambda = -1$ en la recta: $$M(5 - 2, 3 - 3, 1 - 1) = M(3, 0, 0)$$ (Curiosamente, $M$ coincide con el punto $A$). 3. **Cálculo de $D'$ sabiendo que $M$ es el punto medio entre $D$ y $D'$:** $$M = \frac{D + D'}{2} \implies D' = 2M - D$$ $$D' = 2(3, 0, 0) - (5, 3, 1) = (6 - 5, 0 - 3, 0 - 1) = (1, -3, -1)$$ 💡 **Tip:** No uses fórmulas directas de simetría; es más seguro calcular el punto medio $M$ proyectando ortogonalmente sobre el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D'(1, -3, -1)}$$