Optimización del área de una pantalla de cine

Para resolver este problema de optimización, primero debemos definir la función que representa el área de la pantalla. Según la simetría de la función $f(x) = 12 - \frac{x^2}{3}$ (es una parábola par, simétrica respecto al eje $Y$) y la descripción de la figura, la pantalla es un rectángulo inscrito bajo la curva. Si tomamos un punto $(x, y)$ sobre la gráfica en el primer cuadrante ($x \gt 0, y \gt 0$): - La **altura** de la pantalla será $y = f(x) = 12 - \frac{x^2}{3}$. - La **base** de la pantalla se extiende desde $-x$ hasta $x$, por lo que su longitud es $2x$. El área $A$ de la pantalla en función de $x$ es: $$A(x) = \text{base} \cdot \text{altura} = 2x \cdot \left( 12 - \frac{x^2}{3} \right)$$ $$A(x) = 24x - \frac{2x^3}{3}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con figuras simétricas respecto a un eje, recuerda que la dimensión total suele ser el doble de la coordenada variable (en este caso, la base es $2x$).

Debemos establecer el intervalo de valores posibles para $x$. Como el enunciado pide valores positivos y la función $f(x)$ debe ser no negativa ($f(x) \geq 0$): $$12 - \frac{x^2}{3} \geq 0 \implies 12 \geq \frac{x^2}{3} \implies 36 \geq x^2 \implies -6 \leq x \leq 6$$ Como buscamos valores positivos $(x, y)$, el dominio de nuestra función $A(x)$ es el intervalo abierto: $$\text{Dominio: } x \in (0, 6)$$ $$\boxed{x \in (0, 6)}$$

Para encontrar el máximo de la función área, calculamos su primera derivada y la igualamos a cero: $$A(x) = 24x - \frac{2x^3}{3}$$ $$A'(x) = \frac{d}{dx} \left( 24x - \frac{2x}{3} \right) = 24 - \frac{2}{3} \cdot 3x^2 = 24 - 2x^2$$ Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$24 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 24 \implies x^2 = 12$$ $$x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$ Dado que buscamos un valor positivo dentro del dominio $(0, 6)$, tomamos: $$x = 2\sqrt{3} \approx 3.46$$ 💡 **Tip:** Un punto crítico es aquel donde la derivada es cero o no existe. En este contexto, representa un posible máximo o mínimo relativo.

Para confirmar que en $x = 2\sqrt{3}$ existe un máximo relativo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A'(x) = 24 - 2x^2$$ $$A''(x) = -4x$$ Evaluamos en el punto crítico: $$A''(2\sqrt{3}) = -4(2\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}$$ Como $A''(2\sqrt{3}) \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en ese punto, lo que confirma que existe un **máximo relativo**. También podemos observar el signo de $A'(x)$ alrededor del punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2\sqrt{3}) & 2\sqrt{3} & (2\sqrt{3}, 6)\\ \hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Como la función crece y luego decrece, el máximo es absoluto en el intervalo.

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el área, calculamos el valor correspondiente de $y$ utilizando la función de la forma de la nave: $$x = 2\sqrt{3}$$ $$y = f(2\sqrt{3}) = 12 - \frac{(2\sqrt{3})^2}{3}$$ $$y = 12 - \frac{4 \cdot 3}{3} = 12 - 4 = 8$$ Por tanto, los valores positivos $(x, y)$ que hacen máxima el área son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 2\sqrt{3}, \quad y = 8}$$ (O en aproximación decimal: $x \approx 3.46, \, y = 8$).