Estudio de una función racional y cálculo de áreas

**a) Haz un esbozo de su gráfica determinando: dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y regiones de convexidad y concavidad. (1.5 puntos)** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$. El único punto donde la función no está definida es aquel que anula el denominador: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ Por tanto, el dominio es: $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$ **Asíntotas verticales:** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a 0: $$\lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = 1 - \frac{1}{0^+} = 1 - \infty = -\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en **$x = 0$** (el eje $Y$). 💡 **Tip:** Recuerda que las asíntotas verticales se encuentran en los puntos que no pertenecen al dominio donde el límite de la función es infinito.

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a $\pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = 1 - 0 = 1$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 1$** tanto para $+\infty$ como para $-\infty$. **Asíntotas oblicuas:** Al existir asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x=0, \quad \text{AH: } y=1}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f(x) = 1 - x^{-2} \implies f'(x) = 0 - (-2)x^{-3} = \frac{2}{x^3}$$ Igualamos a cero para buscar puntos críticos: $$\frac{2}{x^3} = 0 \implies 2 \neq 0 \implies \text{No hay puntos críticos.}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\\hline f'(x) & - & \nexists & + \\ \text{Monotonía} & \searrow & \text{No def.} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. Como no hay puntos críticos donde la derivada se anule dentro del dominio, **no existen máximos ni mínimos relativos**. 💡 **Tip:** Aunque la función cambia de decreciente a creciente en $x=0$, no hay un mínimo allí porque $x=0$ no pertenece al dominio.

Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = 2x^{-3}$: $$f''(x) = 2(-3)x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$$ Para todo $x \in \text{Dom}(f)$, $x^4$ siempre es positivo. Por tanto: $$f''(x) = \frac{-6}{\text{positivo}} \lt 0 \quad \forall x \neq 0$$ Como $f''(x)$ siempre es negativa, la función es **cóncava (hacia abajo)** en todo su dominio. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\\hline f''(x) & - & \nexists & - \end{array}$$ ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Cóncava en } (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}$$ No existen puntos de inflexión ya que la segunda derivada nunca se anula ni cambia de signo.

Con los datos obtenidos (asíntotas $x=0, y=1$, decreciente hasta $0$ y creciente desde $0$, siempre cóncava), el esbozo de la gráfica es el siguiente:

**b) Calcula el área de la región limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$, la recta $y = 1$ y el eje de ordenadas. (1 punto)** Primero hallamos la ecuación de la recta tangente en $x=1$ mediante la fórmula $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$: 1. Punto de tangencia: $f(1) = 1 - \frac{1}{1^2} = 0$. El punto es $(1, 0)$. 2. Pendiente: $f'(1) = \frac{2}{1^3} = 2$. La ecuación es: $$y - 0 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 2$$ 💡 **Tip:** La recta tangente siempre tiene la forma $y = mx + n$, donde $m$ es el valor de la derivada en el punto.

La región está limitada por: - La recta tangente: $y = 2x - 2$ - La recta: $y = 1$ - El eje de ordenadas: $x = 0$ Buscamos el punto de corte entre las dos rectas para determinar el límite superior de integración: $$2x - 2 = 1 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$$ En el intervalo $[0, 1.5]$, la recta $y=1$ está por encima de la recta tangente $y=2x-2$. El área es: $$A = \int_{0}^{1.5} [1 - (2x - 2)] \, dx = \int_{0}^{1.5} (3 - 2x) \, dx$$ Calculamos la integral usando la regla de Barrow: $$A = \left[ 3x - x^2 \right]_{0}^{1.5} = (3(1.5) - (1.5)^2) - (0)$$ $$A = 4.5 - 2.25 = 2.25$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 2.25 \text{ unidades}^2}$$ *(Nota: Al tratarse de un triángulo de base $1.5$ y altura $3$, también se puede verificar como $\frac{1.5 \cdot 3}{2} = 2.25$)*