Inversa de una matriz y resolución de ecuación matricial

**a) Si existe, su inversa. (1 punto)** Para que una matriz $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 1) + (2\cdot 2\cdot 1) + (2\cdot 0\cdot 2) - (1\cdot 1\cdot 2) - (0\cdot 2\cdot 1) - (1\cdot 2\cdot 2)$$ $$|A| = 1 + 4 + 0 - 2 - 0 - 4 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular y por tanto existe su inversa $A^{-1}$**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o regular) si y solo si su determinante es no nulo.

Utilizamos la fórmula: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \text{Adj}(A^T)$. 1. Hallamos la matriz traspuesta $A^T$: $$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la matriz de adjuntos de la traspuesta: $$\text{Adj}(A^T) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) La matriz $X$ cuadrada de orden 3 que verifica: $(X + A)^2 - X^2 - X \cdot A = I_3$ (1.5 puntos)** Primero, desarrollamos la expresión $(X + A)^2$. ⚠️ **Importante:** En matrices, el producto no es necesariamente conmutativo ($XA \neq AX$), por lo que: $$(X + A)^2 = (X + A)(X + A) = X^2 + XA + AX + A^2$$ Sustituimos esto en la ecuación original: $$(X^2 + XA + AX + A^2) - X^2 - XA = I_3$$ Simplificamos los términos $X^2$ y $XA$: $$AX + A^2 = I_3$$ 💡 **Tip:** No asumas nunca $XA = AX$ a menos que el enunciado lo indique. Aquí la simplificación es posible porque restamos exactamente el mismo término $XA$ que generamos.

Aislamos el término que contiene la incógnita $X$: $$AX = I_3 - A^2$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(I_3 - A^2)$$ $$X = A^{-1}I_3 - A^{-1}A^2$$ Usando las propiedades $A^{-1}I_3 = A^{-1}$ y $A^{-1}A = I_3$: $$X = A^{-1} - A$$ Esta forma es mucho más sencilla de calcular que hallar $A^2$ primero. ✅ **Ecuación despejada:** $$\boxed{X = A^{-1} - A}$$

Realizamos la resta de las matrices que ya conocemos: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos elemento a elemento: $$X = \begin{pmatrix} -1-1 & 2-2 & -2-2 \\ 0-2 & 1-1 & -2-2 \\ 1-1 & -2-0 & 3-1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ -2 & 0 & -4 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ -2 & 0 & -4 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}}$$