Discusión y resolución de un sistema dependiente de un parámetro

**a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de $a$. (1.5 puntos)** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 0 & 1 & a \\ 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & a & a \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Capelli**, debemos calcular el determinante de la matriz $A$ y ver para qué valores de $a$ se anula. 💡 **Tip:** Un sistema es compatible determinado si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada y con el número de incógnitas.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus o desarrollando por la segunda columna (que tiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & a \end{vmatrix} = (-1)^{2+2} \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = -1 \cdot (a^2 - 1) = 1 - a^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$1 - a^2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = 1, \quad a = -1$$ Los valores que debemos estudiar por separado son **$a = 1$** y **$a = -1$**.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$ y contiene a $A$, su rango también será 3: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$) son idénticas. Esto significa que el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$ también en la matriz ampliada, el rango de $A^*$ no aumentará: $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ En la matriz $A$, las filas $F_1$ y $F_3$ son proporcionales ($F_1 = -F_3$), por lo que $\text{rg}(A) = 2$ (ya que $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$). Analizamos ahora el rango de $A^*$ tomando un menor que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 - 1) = -2 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b) Resuélvelo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)** El sistema es SCI cuando $a = 1$. El sistema reducido (eliminando la tercera ecuación por ser redundante) es: $$\begin{cases} x + z = 1 \\ 2x - y - z = -1 \end{cases}$$ Como el rango es 2 y tenemos 3 incógnitas, necesitamos un parámetro. Hacemos **$z = \lambda$**, con $\lambda \in \mathbb{R}$. De la primera ecuación despejamos $x$: $$x = 1 - z \implies \mathbf{x = 1 - \lambda}$$ Sustituimos $x$ y $z$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$2(1 - \lambda) - y - \lambda = -1$$ $$2 - 2\lambda - y - \lambda = -1$$ $$3 - 3\lambda = y \implies \mathbf{y = 3 - 3\lambda}$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre indicar que el parámetro $\lambda$ pertenece a los números reales para que la solución sea completa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \lambda, 3 - 3\lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$