Probabilidad de selección olímpica

Para resolver este problema, primero debemos identificar el modelo probabilístico que siguen los datos. Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de deportistas elegidos para las olimpiadas de entre los 9 seleccionados. Se trata de un experimento de Bernoulli que se repite $n=9$ veces de forma independiente, donde en cada repetición solo hay dos resultados posibles: ser elegido (éxito) o no serlo (fracaso). - Probabilidad de éxito (ser elegido): $p = \dfrac{1}{7}$ - Probabilidad de fracaso (no ser elegido): $q = 1 - p = 1 - \dfrac{1}{7} = \dfrac{6}{7}$ - Número de ensayos: $n = 9$ Por tanto, la variable $X$ sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B\left(9, \dfrac{1}{7}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una distribución binomial $B(n, p)$ se aplica cuando tenemos $n$ sucesos independientes con una probabilidad constante $p$ de éxito.

**a) (0,8 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas?** Debemos calcular la probabilidad de que $X = 2$. La fórmula de la probabilidad para una distribución binomial es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituimos nuestros valores ($n=9$, $k=2$, $p=1/7$, $q=6/7$): $$P(X = 2) = \binom{9}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{6}{7}\right)^{9-2}$$ Primero, calculamos el número combinatorio: $$\binom{9}{2} = \dfrac{9!}{2!(9-2)!} = \dfrac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$$ Ahora realizamos el cálculo completo: $$P(X = 2) = 36 \cdot \dfrac{1}{49} \cdot \left(\dfrac{6}{7}\right)^7$$ $$P(X = 2) = 36 \cdot 0.020408 \cdot 0.339917 \approx 0.2496$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 2) \approx 0.2496}$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{k}$ representa las distintas formas en las que pueden ocurrir los $k$ éxitos en los $n$ intentos.

**b) (1,2 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas?** Nos piden la probabilidad de que $X \ge 1$. En estos casos, es mucho más sencillo calcular la probabilidad del suceso contrario: "Al menos 1" es el contrario de "Ninguno ($X=0$)". $$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X = 0)$ usando la fórmula binomial: $$P(X = 0) = \binom{9}{0} \cdot \left(\dfrac{1}{7}\right)^0 \cdot \left(\dfrac{6}{7}\right)^9$$ $$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\dfrac{6}{7}\right)^9 \approx 0.2497$$ Finalmente, calculamos la probabilidad solicitada: $$P(X \ge 1) = 1 - 0.2497 = 0.7503$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0.7503}$$ 💡 **Tip:** Siempre que leas "al menos uno", intenta resolverlo mediante el complementario $1 - P(0)$, suele ahorrar mucho tiempo de cálculo.