Recta perpendicular a un plano definido por tres puntos

Para encontrar la dirección de la recta, primero debemos determinar el plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(3, 1, 0)$ y $C(2, -1, 1)$. Calculamos dos vectores directores del plano restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{u} = \vec{AB} = (3-1, 1-0, 0-1) = (2, 1, -1)$$ $$\vec{v} = \vec{AC} = (2-1, -1-0, 1-1) = (1, -1, 0)$$ Estos dos vectores están contenidos en el plano $\pi$. Como buscamos una recta perpendicular al plano, su vector director será el vector normal al plano, $\vec{n_\pi}$. 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos.

El vector normal $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores del plano $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Este vector será el vector director $\vec{d_r}$ de nuestra recta, ya que la recta debe ser perpendicular al plano. Calculamos el determinante paso a paso: $$\vec{n_\pi} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (Sarrus): $$\vec{n_\pi} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = \vec{i}(0 - 1) - \vec{j}(0 - (-1)) + \vec{k}(-2 - 1)$$ $$\vec{n_\pi} = -1\vec{i} - 1\vec{j} - 3\vec{k} = (-1, -1, -3)$$ Podemos simplificar el vector director de la recta tomando uno proporcional con signo positivo para facilitar los cálculos: $$\vec{d_r} = (1, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ genera un vector perpendicular a ambos, $\vec{a}$ y $\vec{b}$, y por tanto perpendicular al plano que definen.

La recta $r$ pasa por el punto $P(1, -2, 0)$ y tiene como vector director $\vec{d_r} = (1, 1, 3)$. Escribimos primero la ecuación en forma continua: $$\frac{x - x_0}{d_1} = \frac{y - y_0}{d_2} = \frac{z - z_0}{d_3}$$ Sustituyendo el punto y el vector: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - (-2)}{1} = \frac{z - 0}{3} \implies \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{3}$$

Para expresar la recta como intersección de dos planos (forma implícita), igualamos las fracciones de la ecuación continua de dos en dos: 1. De la igualdad de las dos primeras fracciones: $$x - 1 = y + 2 \implies x - y - 3 = 0$$ 2. De la igualdad de la primera y la tercera fracción: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{z}{3} \implies 3(x - 1) = z \implies 3x - 3 = z \implies 3x - z - 3 = 0$$ Agrupando ambas ecuaciones, obtenemos la recta como intersección de dos planos: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ 3x - z - 3 = 0 \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Cualquier combinación lineal de estas igualdades daría planos válidos, pero lo más sencillo es tomarlas de dos en dos.