Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**a) (1 punto) Discuta según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones.** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de los coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & -5 & a & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que: - Si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas) $\implies$ **SCD** (Solución única). - Si $rg(A) = rg(A^*) \lt n$ $\implies$ **SCI** (Infinitas soluciones). - Si $rg(A) \neq rg(A^*)$ $\implies$ **SI** (Sin solución).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus para hallar los valores críticos de $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & a \end{vmatrix} = (12a - 2 - 10) - (16 - 15 - a)$$ $$|A| = (12a - 12) - (1 - a) = 12a - 12 - 1 + a = 13a - 13$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo el rango de $A$ es menor que $3$: $$13a - 13 = 0 \implies 13a = 13 \implies a = 1$$

**Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto: $$rg(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que $3$ (solo tiene 3 filas) y contiene a $A$: $$rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) = rg(A^*) = 3$ (que es el número de incógnitas), según el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

**Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 12 - (-1) = 13 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ analizando el menor que incluye la columna de términos independientes: $$M = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & -5 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|M| = (-24 - 6 - 5) - (8 - 45 + 2) = (-35) - (-35) = 0$$ Alternativamente, observamos que en $A^*$ para $a=1$, la tercera fila es la resta de las dos primeras ($F_3 = F_1 - F_2$): $$(3, -1, 2, 1) - (1, 4, 1, 3) = (2, -5, 1, -2)$$ Esto confirma que el rango de $A^*$ también es $2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) (1 punto) Resuelva el sistema para $a = 0$.** Si $a = 0$, el sistema es **Compatible Determinado** (según el apartado anterior, ya que $0 \neq 1$). El sistema es: $$\begin{cases} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = 3 \\ 2x - 5y = -2 \end{cases}$$ Calculamos $|A|$ para $a=0$: $$|A| = 13(0) - 13 = -13$$ Aplicamos la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2 & -5 & 0 \end{vmatrix}}{-13} = \frac{(0 + 2 - 30) - (-16 - 5 + 0)}{-13} = \frac{-28 - (-21)}{-13} = \frac{-7}{-13} = \frac{7}{13}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{-13} = \frac{(0 + 2 - 4) - (12 - 6 + 0)}{-13} = \frac{-2 - 6}{-13} = \frac{-8}{-13} = \frac{8}{13}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & -5 & -2 \end{vmatrix}}{-13}$$ Observamos que el numerador es el determinante $|M|$ que calculamos en el apartado anterior, que valía $0$: $$z = \frac{0}{-13} = 0$$ 💡 **Tip:** En la Regla de Cramer, la incógnita $x_i$ se halla dividiendo el determinante de la matriz sustituyendo la columna $i$ por la de términos independientes entre el determinante de $A$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{7}{13}, \quad y = \frac{8}{13}, \quad z = 0}$$