Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) (1 punto) Compruebe que la matriz $B$ tiene inversa y calcúlela.** Para que una matriz cuadrada $B$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|B| \neq 0$). Calculamos el determinante de $B$ aplicando la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|B| = [3 \cdot 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$|B| = [-3 + 1 + 1] - [-1 + 3 + 1] = -1 - 3 = -4$$ Como **$|B| = -4 \neq 0$**, podemos afirmar que la matriz $B$ es regular y, por tanto, **tiene inversa**. 💡 **Tip:** Una matriz tiene inversa si y solo si es no singular, es decir, su determinante es distinto de cero.

Para calcular $B^{-1}$ utilizaremos la fórmula: $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \cdot \text{Adj}(B)^t$$ Calculamos primero los adjuntos de todos los elementos de $B$: $B_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2; \quad B_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2$ $B_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{22} = + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -2; \quad B_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ $B_{31} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2; \quad B_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2; \quad B_{33} = + \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|B| = -4$: $$B^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Calcule la matriz $X$ que verifica la siguiente ecuación matricial: $I + BX = C_1 C_2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación original: 1. Restamos la identidad $I$ en ambos miembros: $$BX = C_1 C_2 - I$$ 2. Como existe $B^{-1}$, multiplicamos por la izquierda por $B^{-1}$: $$B^{-1} (BX) = B^{-1} (C_1 C_2 - I)$$ $$(B^{-1} B) X = B^{-1} (C_1 C_2 - I)$$ $$I \cdot X = B^{-1} (C_1 C_2 - I)$$ $$\mathbf{X = B^{-1} (C_1 C_2 - I)}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es fundamental. Como $B$ está a la izquierda de $X$, multiplicamos por $B^{-1}$ por la izquierda.

Calculamos el producto $C_1 C_2$. $C_1$ es $3 \times 2$ y $C_2$ es $2 \times 3$, por lo que el resultado será una matriz $3 \times 3$: $$C_1 C_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-1)+(1)(3) & (1)(2)+(1)(2) & (1)(0)+(1)(1) \\ (3)(-1)+(-1)(3) & (3)(2)+(-1)(2) & (3)(0)+(-1)(1) \\ (1)(-1)+(0)(3) & (1)(2)+(0)(2) & (1)(0)+(0)(1) \end{pmatrix}$$ $$C_1 C_2 = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -6 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Definimos la matriz $M = C_1 C_2 - I$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -6 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 4-0 & 1-0 \\ -6-0 & 4-1 & -1-0 \\ -1-0 & 2-0 & 0-1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ -6 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos $B^{-1}$ por $M$: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ -6 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ - Fila 1: $x_{11} = 0.5 - 0.5 = 0; \quad x_{12} = 2 + 1 = 3; \quad x_{13} = 0.5 - 0.5 = 0$ - Fila 2: $x_{21} = -3 - 0.5 = -3.5; \quad x_{22} = 1.5 + 1 = 2.5; \quad x_{23} = -0.5 - 0.5 = -1$ - Fila 3: $x_{31} = -0.5 - 3 + 1 = -2.5; \quad x_{32} = -2 + 1.5 - 2 = -2.5; \quad x_{33} = -0.5 - 0.5 + 1 = 0$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -7/2 & 5/2 & -1 \\ -5/2 & -5/2 & 0 \end{pmatrix}}$$