Estudio del rango e inversa de una matriz con parámetros

**a) (1 punto) Estudie el rango de la matriz $A = I + P$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, según los valores de $k \in \mathbb{R}$.** En primer lugar, obtenemos la expresión de la matriz $A$ realizando la suma de la matriz identidad $I$ de orden 3 y la matriz $P$ proporcionada: $$A = I + P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -k & -2k \\ 1 & -k & 0 \end{pmatrix}$$ Sumando elemento a elemento: $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & -2k \\ 1 & -k & 1 \end{pmatrix}}$$

Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante $|A|$ en función de $k$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & -2k \\ 1 & -k & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (1-k) \cdot 1 + 1 \cdot (-2k) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-k)] - [1 \cdot (1-k) \cdot 1 + (-k) \cdot (-2k) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ Operamos los productos: $$|A| = (1 - k - 2k - k) - (1 - k + 2k^2 + 1)$$ $$|A| = (1 - 4k) - (2 - k + 2k^2)$$ $$|A| = 1 - 4k - 2 + k - 2k^2 = -2k^2 - 3k - 1$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz $3 \times 3$ será 3 si su determinante es distinto de cero. Si es cero, el rango será menor que 3. $$\boxed{|A| = -2k^2 - 3k - 1}$$

Buscamos los valores de $k$ que hacen que el determinante sea nulo resolviendo la ecuación de segundo grado: $$-2k^2 - 3k - 1 = 0 \implies 2k^2 + 3k + 1 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$k = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4}$$ Obtenemos dos soluciones: - $k_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ - $k_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$ Por tanto, el determinante es cero cuando **$k = -1$** o **$k = -1/2$**.

Analizamos los casos según el valor de $k$: 1. **Si $k \neq -1$ y $k \neq -1/2$**: El determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto, las tres filas/columnas son linealmente independientes. $$\boxed{\text{rango}(A) = 3}$$ 2. **Si $k = -1$**: La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera fila son iguales ($F_1 = F_3$), por lo que el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$$ $$\boxed{\text{rango}(A) = 2}$$ 3. **Si $k = -1/2$**: La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3/2 & 1 \\ 1 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera columna son iguales ($C_1 = C_3$), por lo que el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3/2 \end{vmatrix} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \neq 0$$ $$\boxed{\text{rango}(A) = 2}$$

**b) (1 punto) Para $k = 1$, calcule la inversa de la matriz $A$ del apartado anterior.** Si $k = 1$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Primero calculamos el valor del determinante para $k = 1$: $$|A| = -2(1)^2 - 3(1) - 1 = -2 - 3 - 1 = -6$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. La fórmula para la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular la matriz adjunta, cada elemento se sustituye por su menor complementario con el signo correspondiente $(-1)^{i+j}$.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1+2) = -3$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(1+1) = -2$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1-1) = 2$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2-1) = 3$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & -3 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 1/6 & -1/3 & 1/6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}}$$