Estudio de asíntotas y recta tangente

**a) (1,25 puntos) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.** Primero, determinamos el dominio de la función $f(x) = \frac{e^x}{x^3 - x}$. Al ser una función racional con una exponencial en el numerador, los puntos conflictivos son aquellos que anulan el denominador: $$x^3 - x = 0 \implies x(x^2 - 1) = 0 \implies x(x-1)(x+1) = 0$$ Los valores son $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$. El dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$. Para comprobar si son asíntotas verticales (AV), calculamos los límites laterales: 1. **En $x = -1$**: $$\lim_{x \to -1} \frac{e^x}{x^3 - x} = \frac{e^{-1}}{0} = \infty \implies \text{Existe AV en } \mathbf{x = -1}$$ 2. **En $x = 0$**: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^3 - x} = \frac{e^{0}}{0} = \frac{1}{0} = \infty \implies \text{Existe AV en } \mathbf{x = 0}$$ 3. **En $x = 1$**: $$\lim_{x \to 1} \frac{e^x}{x^3 - x} = \frac{e^{1}}{0} = \infty \implies \text{Existe AV en } \mathbf{x = 1}$$ 💡 **Tip:** Una recta $x = a$ es asíntota vertical si al menos uno de los límites laterales en ese punto tiende a $\pm\infty$.

Las asíntotas horizontales (AH) se calculan estudiando el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$. - **Cuando $x \to +\infty$**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3 - x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Como el crecimiento de la función exponencial $e^x$ es de un orden superior al del polinomio $x^3 - x$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3 - x} = +\infty$$ Por tanto, **no hay AH cuando $x \to +\infty$**. - **Cuando $x \to -\infty$**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^3 - x} = \frac{e^{-\infty}}{(-\infty)^3 - (-\infty)} = \frac{0}{-\infty} = 0$$ Esto indica que la recta **$y = 0$** es una asíntota horizontal por la izquierda. 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal en un sentido del infinito ($+\infty$ o $-\infty$), no puede existir asíntota oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 0 \text{ (cuando } x \to -\infty)}$$

Solo nos queda comprobar si existe asíntota oblicua (AO) cuando $x \to +\infty$ (ya que en $-\infty$ hay una AH). La ecuación de la AO sería $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x(x^3 - x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^4 - x^2}$$ Al igual que antes, el numerador exponencial crece mucho más rápido que el denominador polinómico: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^4 - x^2} = +\infty$$ Como $m$ no es un valor real finito, **no existe asíntota oblicua**. ✅ **Conclusión del apartado a):** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, x = 0, x = 1; \quad \text{AH: } y = 0 \text{ (en } -\infty); \quad \text{AO: No existen}}$$

**b) (0,75 puntos) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 2$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En este caso $a = 2$. **1. Calculamos la ordenada del punto $f(2)$:** $$f(2) = \frac{e^2}{2^3 - 2} = \frac{e^2}{8 - 2} = \frac{e^2}{6}$$ **2. Calculamos la derivada $f'(x)$:** Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{e^x(x^3 - x) - e^x(3x^2 - 1)}{(x^3 - x)^2} = \frac{e^x(x^3 - 3x^2 - x + 1)}{(x^3 - x)^2}$$ **3. Evaluamos la pendiente $m = f'(2)$:** $$f'(2) = \frac{e^2(2^3 - 3(2^2) - 2 + 1)}{(2^3 - 2)^2} = \frac{e^2(8 - 12 - 2 + 1)}{6^2} = \frac{e^2(-5)}{36} = -\frac{5e^2}{36}$$ **4. Escribimos la ecuación:** $$y - \frac{e^2}{6} = -\frac{5e^2}{36}(x - 2)$$ Podemos expresar la recta en su forma explícita: $$y = -\frac{5e^2}{36}x + \frac{10e^2}{36} + \frac{6e^2}{36} \implies y = -\frac{5e^2}{36}x + \frac{16e^2}{36} = -\frac{5e^2}{36}x + \frac{4e^2}{9}$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -\frac{5e^2}{36}x + \frac{4e^2}{9}}$$