Optimización del coste de un depósito prismático

En primer lugar, definimos las variables que determinan las dimensiones del depósito: - $x$: longitud del lado de la base cuadrada (en metros). - $h$: altura del depósito (en metros). El enunciado nos pide minimizar el **coste total** del material. Calculamos la superficie de cada parte y la multiplicamos por su precio: - **Base:** Es un cuadrado de área $x^2$. Su coste es $140 \cdot x^2$. - **Laterales:** Son 4 rectángulos de área $x \cdot h$ cada uno. El área total lateral es $4xh$. Su coste es $70 \cdot 4xh = 280xh$. La función de coste total $C(x, h)$ es: $$C(x, h) = 140x^2 + 280xh$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, identifica siempre qué magnitud quieres maximizar o minimizar (función objetivo) y qué restricciones relacionan las variables.

Sabemos que la capacidad (volumen) del depósito debe ser de $64\,m^3$. La fórmula del volumen de un prisma es el área de la base por la altura: $$V = x^2 \cdot h = 64$$ Despejamos una de las variables (la $h$ es más sencilla) para expresar el coste en función de una sola variable: $$h = \frac{64}{x^2}$$ Como las dimensiones deben ser positivas, tenemos la restricción $x \gt 0$. $$\boxed{h = \frac{64}{x^2}}$$

Sustituimos la expresión de $h$ en la función de coste $C(x, h)$: $$C(x) = 140x^2 + 280x \left( \frac{64}{x^2} \right)$$ Simplificamos la expresión: $$C(x) = 140x^2 + \frac{280 \cdot 64}{x}$$ $$C(x) = 140x^2 + \frac{17920}{x}$$ Esta es la función que debemos minimizar en el intervalo $x \in (0, +\infty)$. $$\boxed{C(x) = 140x^2 + 17920x^{-1}}$$

Para hallar el mínimo, derivamos $C(x)$ e igualamos a cero: $$C'(x) = 280x - \frac{17920}{x^2}$$ Igualamos a cero: $$280x - \frac{17920}{x^2} = 0 \implies 280x = \frac{17920}{x^2}$$ $$x^3 = \frac{17920}{280} \implies x^3 = 64$$ $$x = \sqrt[3]{64} = 4$$ El valor crítico es **$x = 4$ metros**. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Esto agiliza mucho el cálculo en funciones de coste o áreas.

Comprobamos si $x=4$ es un mínimo utilizando la segunda derivada $C''(x)$: $$C''(x) = 280 - 17920 \cdot (-2)x^{-3} = 280 + \frac{35840}{x^3}$$ Evaluamos en $x=4$: $$C''(4) = 280 + \frac{35840}{4^3} = 280 + \frac{35840}{64} = 280 + 560 = 840$$ Como **$C''(4) \gt 0$**, la función presenta un **mínimo relativo** en $x=4$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,4) & 4 & (4,+\infty)\\ \hline C'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ La función decrece antes de $x=4$ y crece después, lo que confirma que es el mínimo absoluto en nuestro dominio.

Una vez hallado el valor de $x$ que minimiza el coste, calculamos la altura $h$ sustituyendo en la restricción del volumen: $$h = \frac{64}{x^2} = \frac{64}{4^2} = \frac{64}{16} = 4\,m.$$ Las dimensiones del depósito para que el coste sea mínimo son: - Lado de la base: **$4$ metros**. - Altura: **$4$ metros**. (En este caso, el depósito resulta ser un cubo de $4 \times 4 \times 4$ metros). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Lado de la base: } 4\,m, \quad \text{Altura: } 4\,m}$$