Cálculo de límite con indeterminación uno elevado a infinito

Para calcular el límite, primero evaluamos la expresión directamente sustituyendo $x$ por $1$: $$\lim_{x o 1} (\text{sen}(\frac{\pi}{2}x))^{\frac{1}{(1-x)^2}} = (\text{sen}(\frac{\pi}{2}))^{\frac{1}{(1-1)^2}} = 1^{\frac{1}{0}} = 1^{\infty}$$ Se trata de una **indeterminación de la forma $1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ suelen resolverse aplicando la propiedad de los logaritmos o mediante la fórmula directa $e^{\lim_{x \to a} [g(x)(f(x)-1)]}$. En este caso, utilizaremos el método del logaritmo para aplicar la regla de L'Hôpital.

Llamamos $L$ al valor del límite y aplicamos el logaritmo natural (neperiano) para bajar el exponente: $$L = \lim_{x o 1} (\text{sen}(\frac{\pi}{2}x))^{\frac{1}{(1-x)^2}}$$ $$\ln(L) = \ln \left( \lim_{x o 1} (\text{sen}(\frac{\pi}{2}x))^{\frac{1}{(1-x)^2}} \right)$$ Por la continuidad de la función logaritmo, podemos introducir el logaritmo dentro del límite: $$\ln(L) = \lim_{x o 1} \ln \left( (\text{sen}(\frac{\pi}{2}x))^{\frac{1}{(1-x)^2}} \right)$$ Aplicando la propiedad $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$: $$\ln(L) = \lim_{x o 1} \frac{1}{(1-x)^2} \ln(\text{sen}(\frac{\pi}{2}x)) = \lim_{x o 1} \frac{\ln(\text{sen}(\frac{\pi}{2}x))}{(1-x)^2}$$ Evaluamos de nuevo: $$\frac{\ln(\text{sen}(\frac{\pi}{2}))}{(1-1)^2} = \frac{\ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Ahora tenemos una indeterminación de la forma **$0/0$**, lo que nos permite aplicar la **regla de L'Hôpital**.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador por separado: - Derivada del numerador: $\left[ \ln(\text{sen}(\frac{\pi}{2}x)) \right]' = \frac{1}{\text{sen}(\frac{\pi}{2}x)} \cdot \cos(\frac{\pi}{2}x) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \text{ctg}(\frac{\pi}{2}x)$ - Derivada del denominador: $\left[ (1-x)^2 \right]' = 2(1-x)(-1) = -2(1-x)$ Sustituimos en el límite: $$\ln(L) = \lim_{x o 1} \frac{\frac{\pi}{2} \text{ctg}(\frac{\pi}{2}x)}{-2(1-x)} = \lim_{x o 1} \frac{\pi \cos(\frac{\pi}{2}x)}{-4(1-x) \text{sen}(\frac{\pi}{2}x)}$$ Si evaluamos en $x=1$: $$\frac{\pi \cos(\frac{\pi}{2})}{-4(0) \text{sen}(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi \cdot 0}{0 \cdot 1} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Para facilitar el cálculo, podemos separar el factor $\text{sen}(\frac{\pi}{2}x)$ ya que su límite cuando $x \to 1$ es $1$, simplificando la expresión antes de aplicar L'Hôpital de nuevo.

Separamos el término que no genera indeterminación: $$\ln(L) = \left( \lim_{x o 1} \frac{1}{\text{sen}(\frac{\pi}{2}x)} \right) \cdot \left( \lim_{x o 1} \frac{\pi \cos(\frac{\pi}{2}x)}{-4(1-x)} \right)$$ Como $\lim_{x o 1} \frac{1}{\text{sen}(\frac{\pi}{2}x)} = \frac{1}{1} = 1$, nos queda: $$\ln(L) = \lim_{x o 1} \frac{\pi \cos(\frac{\pi}{2}x)}{-4(1-x)}$$ Volvemos a aplicar L'Hôpital derivando numerador y denominador: - Derivada del numerador: $[\pi \cos(\frac{\pi}{2}x)]' = \pi \cdot (-\text{sen}(\frac{\pi}{2}x)) \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi^2}{2} \text{sen}(\frac{\pi}{2}x)$ - Derivada del denominador: $[-4(1-x)]' = -4(-1) = 4$ Sustituimos: $$\ln(L) = \lim_{x o 1} \frac{-\frac{\pi^2}{2} \text{sen}(\frac{\pi}{2}x)}{4} = \frac{-\frac{\pi^2}{2} \text{sen}(\frac{\pi}{2})}{4} = \frac{-\frac{\pi^2}{2} \cdot 1}{4} = -\frac{\pi^2}{8}$$ Por tanto, el valor del logaritmo del límite es **$-\frac{\pi^2}{8}$**.

Una vez hallado $\ln(L) = -\frac{\pi^2}{8}$, despejamos el valor de $L$ aplicando la función exponencial: $$L = e^{-\frac{\pi^2}{8}}$$ O escrito de otra forma: $$L = \frac{1}{e^{\pi^2/8}}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 1} (\text{sen}(\frac{\pi}{2}x))^{\frac{1}{(1-x)^2}} = e^{-\frac{\pi^2}{8}}}$$