Distribución Normal: Niveles de hierro y anemia

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro?** En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el fenómeno: $X=$ "cantidad de hierro en suero de una mujer adulta (en $\mu g/dl$)". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(120, 30)$$ Donde: - Media: $\mu = 120$ - Desviación típica: $\sigma = 30$ El problema nos indica que una mujer tiene anemia si su cantidad de hierro es inferior a $75 \mu g/dl$. Por tanto, debemos calcular la probabilidad: $$P(X \lt 75)$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, para calcular probabilidades debemos transformar la variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**.

Para tipificar usamos la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \lt 75) = P\left( Z \lt \frac{75 - 120}{30} \right) = P\left( Z \lt \frac{-45}{30} \right) = P(Z \lt -1.5)$$ Como las tablas de la normal estándar habitualmente solo muestran valores positivos y el área a la izquierda ($P(Z \le z)$), aplicamos las propiedades de **simetría** de la campana de Gauss: 1. Por simetría: $P(Z \lt -1.5) = P(Z \gt 1.5)$ 2. Por el suceso contrario: $P(Z \gt 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$ Buscamos el valor $1.5$ en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.5) = 0.9332$$ Sustituimos: $$P(X \lt 75) = 1 - 0.9332 = 0.0668$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{anemia}) = 0.0668}$$ Esto significa que hay una probabilidad del **6.68%** de que una mujer adulta sufra anemia por falta de hierro.

**b) (1 punto) El 45% de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a $k$. Averigüe el valor de $k$.** Se nos pide encontrar un valor $k$ tal que la probabilidad de que $X$ sea mayor que $k$ sea el $45\%$, es decir, $0.45$: $$P(X \gt k) = 0.45$$ Tipificamos la expresión para trabajar con la variable $Z$: $$P\left( Z \gt \frac{k - 120}{30} \right) = 0.45$$ Llamamos $z_k = \dfrac{k - 120}{30}$ para simplificar. Entonces: $$P(Z \gt z_k) = 0.45$$ Como las tablas funcionan con áreas a la izquierda ($P(Z \le z_k)$), usamos el suceso complementario: $$1 - P(Z \le z_k) = 0.45 \implies P(Z \le z_k) = 1 - 0.45 = 0.55$$ 💡 **Tip:** Si la probabilidad es mayor que $0.5$, el valor de $z_k$ será positivo y estará directamente en la tabla.

Buscamos en el interior de la tabla de la normal estándar el valor de probabilidad más cercano a **0.55**: - Para $z = 0.12$, la probabilidad es $0.5478$ - Para $z = 0.13$, la probabilidad es $0.5517$ Podemos tomar el valor intermedio aproximado $z_k \approx 0.125$ (o $0.1257$ si somos más precisos). Usaremos **$z_k = 0.125$**. Ahora deshacemos el cambio para hallar $k$: $$\frac{k - 120}{30} = 0.125$$ Despejamos $k$: $$k - 120 = 0.125 \cdot 30$$ $$k - 120 = 3.75$$ $$k = 120 + 3.75 = 123.75$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 123.75 \mu g/dl}$$ Esto indica que el $45\%$ de las mujeres tienen una cantidad de hierro superior a **$123.75 \mu g/dl$**.