Ecuación de la recta paralela a dos planos

Para que una recta $r$ sea paralela a dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$, su vector director debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos. Sin embargo, el enunciado pide la **ecuación implícita** (intersección de dos planos). Una forma directa de obtenerla es encontrar dos planos auxiliares, $\sigma_1$ y $\sigma_2$, tales que: 1. $\sigma_1$ sea el plano que pasa por $A$ y es paralelo a $\pi_1$. 2. $\sigma_2$ sea el plano que pasa por $A$ y es paralelo a $\pi_2$. La intersección de estos dos planos será la recta buscada, ya que al ser cada plano paralelo a uno de los originales, su intersección hereda la condición de paralelismo solicitada y pasa por el punto $A$. 💡 **Tip:** Recuerda que dos planos paralelos comparten el mismo vector normal.

El plano $\pi_1$ está definido por los puntos $B_1(-1,0,2)$, $B_2(1,3,1)$ y $B_3(2,-1,0)$. Calculamos dos vectores directores del plano: $$\vec{u} = \vec{B_1 B_2} = (1 - (-1), 3 - 0, 1 - 2) = (2, 3, -1)$$ $$\vec{v} = \vec{B_1 B_3} = (2 - (-1), -1 - 0, 0 - 2) = (3, -1, -2)$$ El vector normal $\vec{n}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n}_1 = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila: $$\vec{n}_1 = \vec{i} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_1 = \vec{i}(-6 - 1) - \vec{j}(-4 + 3) + \vec{k}(-2 - 9) = -7\vec{i} + \vec{j} - 11\vec{k}$$ Por tanto, el vector normal de $\pi_1$ es **$\vec{n}_1 = (-7, 1, -11)$**. 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los otros dos, que es precisamente la definición de vector normal a un plano.

Buscamos un plano $\sigma_1$ que pase por $A(0,1,1)$ y tenga como vector normal $\vec{n}_1 = (-7, 1, -11)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal: $$-7x + y - 11z + D_1 = 0$$ Sustituimos el punto $A(0,1,1)$ para hallar $D_1$: $$-7(0) + 1 - 11(1) + D_1 = 0 \implies 1 - 11 + D_1 = 0 \implies D_1 = 10$$ El primer plano es: $$\boxed{\sigma_1 \equiv -7x + y - 11z + 10 = 0}$$

El plano $\pi_2$ es $x + 2z = 1$. Su vector normal es $\vec{n}_2 = (1, 0, 2)$. Buscamos un plano $\sigma_2$ paralelo a $\pi_2$ que pase por $A(0,1,1)$. Tendrá la forma: $$x + 2z + D_2 = 0$$ Sustituimos el punto $A(0,1,1)$: $$0 + 2(1) + D_2 = 0 \implies 2 + D_2 = 0 \implies D_2 = -2$$ El segundo plano es: $$\boxed{\sigma_2 \equiv x + 2z - 2 = 0}$$

La recta $r$ viene dada por la intersección de los dos planos calculados. Expresamos el resultado como un sistema de ecuaciones: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} -7x + y - 11z + 10 = 0 \\ x + 2z - 2 = 0 \end{cases}}$$