Sistema matricial y potencias de una matriz

**a) (1 punto) Resuelva el siguiente sistema matricial** $$\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\ 3X - 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}$$ Llamamos a las matrices del enunciado $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$. El sistema es: $$\begin{cases} (1) \quad 2X + 3Y = A \\ (2) \quad 3X - 2Y = B \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos el **método de reducción**, multiplicando las ecuaciones por coeficientes adecuados para eliminar una de las incógnitas. 💡 **Tip:** Aunque trabajemos con matrices, las reglas de resolución de sistemas lineales (reducción, sustitución, igualación) siguen siendo válidas, siempre que respetemos que la multiplicación de matrices no es conmutativa (aunque aquí solo multiplicamos por escalares).

Para eliminar la matriz $Y$, multiplicamos la ecuación $(1)$ por $2$ y la ecuación $(2)$ por $3$: $$\begin{cases} 4X + 6Y = 2A \\ 9X - 6Y = 3B \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $$13X = 2A + 3B$$ Calculamos el término de la derecha: $$2A + 3B = 2\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 14 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 & 9 \\ -6 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 13 \\ 0 & 26 \end{pmatrix}$$ Despejamos $X$ dividiendo por $13$: $$X = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 13 & 13 \\ 0 & 26 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para eliminar la matriz $X$, multiplicamos la ecuación $(1)$ por $3$ y la ecuación $(2)$ por $-2$: $$\begin{cases} 6X + 9Y = 3A \\ -6X + 4Y = -2B \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $$13Y = 3A - 2B$$ Calculamos el término de la derecha: $$3A - 2B = 3\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 9 & 21 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 & 0 \\ 13 & 13 \end{pmatrix}$$ Despejamos $Y$ dividiendo por $13$: $$Y = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} -13 & 0 \\ 13 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Calcule $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^n, n \in \mathbb{N}$.** Sea $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Vamos a calcular $M^2, M^3 \dots$ para encontrar una ley de formación. Para $n=1$: $$M^1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Para $n=2$: $$M^2 = M \cdot M = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 2 + 0 \cdot (-1) & 2\cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ -1\cdot 2 + 1 \cdot (-1) & -1\cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$ Para $n=3$: $$M^3 = M^2 \cdot M = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot 2 + 0 \cdot (-1) & 4\cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ -3\cdot 2 + 1 \cdot (-1) & -3\cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ -7 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, busca patrones en los elementos de la matriz. Observa que el término $a_{11}$ sigue las potencias de $2$ ($2^1, 2^2, 2^3...$) y el término $a_{21}$ parece estar relacionado con ellos.

Analizamos los resultados obtenidos: - $M^1 = \begin{pmatrix} 2^1 & 0 \\ -(2^1-1) & 1 \end{pmatrix}$ - $M^2 = \begin{pmatrix} 2^2 & 0 \\ -(2^2-1) & 1 \end{pmatrix}$ - $M^3 = \begin{pmatrix} 2^3 & 0 \\ -(2^3-1) & 1 \end{pmatrix}$ Podemos conjeturar que la expresión general para $M^n$ es: $$M^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ -(2^n - 1) & 1 \end{pmatrix}$$ Si quisiéramos demostrarlo formalmente, usaríamos el método de inducción. Suponiendo que se cumple para $n$, para $n+1$ sería: $$M^{n+1} = M^n \cdot M = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ -2^n + 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^n \cdot 2 & 0 \\ (-2^n + 1) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & 1 \end{pmatrix}$$ $$M^{n+1} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} & 0 \\ -2^{n+1} + 2 - 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} & 0 \\ -(2^{n+1} - 1) & 1 \end{pmatrix}$$ La fórmula es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 1 - 2^n & 1 \end{pmatrix}}$$