Propiedades de determinantes y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$, calcule justificadamente $\begin{vmatrix} 2d & 2e + 2f & 2f \\ -g & -h - i & -i \\ a & b + c & c \end{vmatrix}$.** Para resolver este apartado, aplicaremos las propiedades de los determinantes para transformar el determinante pedido en el determinante conocido. En primer lugar, observamos que en la primera fila podemos extraer el factor común $2$, y en la segunda fila el factor $-1$: $$\begin{vmatrix} 2d & 2e + 2f & 2f \\ -g & -h - i & -i \\ a & b + c & c \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} d & e + f & f \\ g & h + i & i \\ a & b + c & c \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} d & e + f & f \\ g & h + i & i \\ a & b + c & c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

Ahora, buscamos simplificar la segunda columna. Si restamos a la segunda columna la tercera ($C_2 \to C_2 - C_3$), el valor del determinante no varía: $$-2 \begin{vmatrix} d & e + f & f \\ g & h + i & i \\ a & b + c & c \end{vmatrix} \xrightarrow{C_2 - C_3} -2 \begin{vmatrix} d & (e+f)-f & f \\ g & (h+i)-i & i \\ a & (b+c)-c & c \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ a & b & c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si a una columna se le suma o resta otra columna multiplicada por un número, el valor del determinante no cambia.

Finalmente, permutamos las filas para que coincidan con la matriz original. Cada intercambio de dos filas cambia el signo del determinante: 1. Intercambiamos la fila 1 y la fila 3 ($F_1 \leftrightarrow F_3$): $$-2 \begin{vmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ a & b & c \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-1) \begin{vmatrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{vmatrix}$$ 2. Intercambiamos la fila 2 y la fila 3 ($F_2 \leftrightarrow F_3$): $$2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$$ Como sabemos que el determinante original vale $5$: $$-2 \cdot 5 = -10$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{-10}$$

**b) (1 punto) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, resuelva el sistema $(A - \frac{1}{2} A^T) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix}$.** Primero, calculamos la matriz traspuesta $A^T$ y luego la matriz $M = A - \frac{1}{2} A^T$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos $A^T$ por $\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2} A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos $M$: $$M = A - \frac{1}{2} A^T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La traspuesta $A^T$ se obtiene cambiando filas por columnas.

Sea $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, el sistema a resolver es $M \cdot X = B$: $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix}$$ Lo escribimos como un sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x - y - z = 0 & \text{(1)} \\ 2x + y + 2z = 9 & \text{(2)} \\ 2x - y = 5 & \text{(3)} \end{cases}$$ De la ecuación (3) despejamos $y$: $$y = 2x - 5$$ Sustituimos $y$ en la ecuación (1) para despejar $z$ en función de $x$: $$x - (2x - 5) - z = 0 \implies x - 2x + 5 - z = 0 \implies z = 5 - x$$ Ahora, sustituimos $y$ y $z$ en la ecuación (2): $$2x + (2x - 5) + 2(5 - x) = 9$$ $$2x + 2x - 5 + 10 - 2x = 9$$ $$2x + 5 = 9 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$ 💡 **Tip:** Puedes resolver el sistema por Gauss, por la matriz inversa o por sustitución. El método de sustitución suele ser muy directo en sistemas $3 \times 3$ pequeños.

Una vez hallado $x = 2$, calculamos los valores de $y$ y $z$: $$y = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1$$ $$z = 5 - 2 = 3$$ Comprobamos en el sistema: - $2 - (-1) - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$ (Correcto). - $2(2) + (-1) + 2(3) = 4 - 1 + 6 = 9$ (Correcto). - $2(2) - (-1) = 4 + 1 = 5$ (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}}$$