Rango de una matriz con parámetros e inversa

**a) (1,25 puntos) Estudie el rango de la matriz $A - kI$ según los valores de $k \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.** En primer lugar, calculamos la matriz resultante de la operación $A - kI$: $$A - kI = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -k & 0 & -2 \\ 1 & 2-k & 1 \\ 1 & 0 & 3-k \end{pmatrix}$$ Llamaremos $M$ a esta matriz: $M = \begin{pmatrix} -k & 0 & -2 \\ 1 & 2-k & 1 \\ 1 & 0 & 3-k \end{pmatrix}$.

Para estudiar el rango, calculamos el determinante de $M$ y buscamos los valores de $k$ que lo anulan. Dado que la segunda columna tiene dos ceros, desarrollaremos el determinante por los elementos de dicha columna: $$|M| = \begin{vmatrix} -k & 0 & -2 \\ 1 & 2-k & 1 \\ 1 & 0 & 3-k \end{vmatrix} = (2-k) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -k & -2 \\ 1 & 3-k \end{vmatrix}$$ $$|M| = (2-k) \cdot [(-k)(3-k) - (-2)(1)] = (2-k) \cdot (k^2 - 3k + 2)$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz $3 \times 3$ será 3 siempre que su determinante sea distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$(2-k)(k^2 - 3k + 2) = 0$$ Esto nos da dos factores: 1. $2 - k = 0 \implies k = 2$ 2. $k^2 - 3k + 2 = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \implies k = 2, \, k = 1$$ Por tanto, el determinante se anula para $k = 1$ y $k = 2$ (siendo $k=2$ una raíz doble). $$\boxed{|M| = -(k-1)(k-2)^2}$$

Analizamos los distintos casos: **Caso 1: Si $k \neq 1$ y $k \neq 2$** El determinante $|M| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz es máximo. $$\text{rg}(A-kI) = 3$$ **Caso 2: Si $k = 1$** La matriz es $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Como $|M|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A-kI) = 2$$ **Caso 3: Si $k = 2$** La matriz es $M = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Observamos que la columna 2 es nula y que las columnas 1 y 3 son iguales ($C_1 = C_3$). Todas las filas son proporcionales entre sí (por ejemplo, $F_1 = -2 F_2$). Solo hay una fila linealmente independiente. $$\text{rg}(A-kI) = 1$$

Concluimos el estudio del rango: ✅ **Resultado del estudio:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}, & \text{rg}(A-kI) = 3 \\ \text{Si } k = 1, & \text{rg}(A-kI) = 2 \\ \text{Si } k = 2, & \text{rg}(A-kI) = 1 \end{cases}}$$

**b) (0,75 puntos) Calcule la inversa de $A - kI$ para $k = 0$.** Si $k = 0$, la matriz es simplemente $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. Primero, comprobamos si es invertible calculando su determinante (usando la fórmula del apartado a o calculándolo directamente): $$|A| = -(0-1)(0-2)^2 = -(-1)(4) = 4$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$ ($A_{ij}$): - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3-1) = -2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 4 \\ -2 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = 4$: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 4 \\ -2 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 0 & 1 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1,5 & 0 & 1 \\ -0,5 & 0,5 & -0,5 \\ -0,5 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$