Estudio de función racional: dominio, asíntotas y recta tangente

**a) (1,2 puntos) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir.** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Para encontrarlos, resolvemos la ecuación: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Utilizamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos raíces: $x_1 = 2$ y $x_2 = -1$. 💡 **Tip:** El dominio se expresa como el conjunto de todos los reales menos los valores que hacen que el denominador sea cero. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Analizamos el comportamiento de la función cerca de $x = -1$ y $x = 2$: Para $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2} = \frac{2(-1)^3 - (-1)^2}{0} = \frac{-3}{0} = \infty$$ Para $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2} = \frac{2(2)^3 - 2^2}{0} = \frac{12}{0} = \infty$$ Como los límites laterales tienden a infinito, existen asíntotas verticales en ambos valores. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 2}$$

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2} = \pm\infty$$ Como el grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), el límite es infinito y **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas:** Al ser el grado del numerador exactamente una unidad superior al del denominador, buscamos una asíntota de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x^2}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{2}{1} = 2$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2} - 2x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x^2 - 2x(x^2 - x - 2)}{x^2 - x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x^2 - 2x^3 + 2x^2 + 4x}{x^2 - x - 2}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 4x}{x^2 - x - 2} = 1$$ 💡 **Tip:** Si existe asíntota oblicua, no puede existir asíntota horizontal en el mismo infinito. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = 2x + 1}$$

**b) (0,8 puntos) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En nuestro caso, $a = 1$. Calculamos primero la ordenada del punto $f(1)$: $$f(1) = \frac{2(1)^3 - (1)^2}{(1)^2 - (1) - 2} = \frac{2 - 1}{-2} = -\frac{1}{2}$$ Ahora calculamos la derivada $f'(x)$ mediante la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(6x^2 - 2x)(x^2 - x - 2) - (2x^3 - x^2)(2x - 1)}{(x^2 - x - 2)^2}$$ Evaluamos en $x = 1$: - Numerador: $[6(1)^2 - 2(1)][(1)^2 - (1) - 2] - [2(1)^3 - (1)^2][2(1) - 1] = (4)(-2) - (1)(1) = -8 - 1 = -9$ - Denominador: $[(1)^2 - (1) - 2]^2 = (-2)^2 = 4$ Por tanto: $f'(1) = -\frac{9}{4}$. 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en dicho punto.

Sustituimos los valores obtenidos ($a=1$, $f(1)=-1/2$, $f'(1)=-9/4$) en la ecuación punto-pendiente: $$y - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{9}{4}(x - 1)$$ $$y + \frac{1}{2} = -\frac{9}{4}x + \frac{9}{4}$$ $$y = -\frac{9}{4}x + \frac{9}{4} - \frac{2}{4}$$ $$y = -\frac{9}{4}x + \frac{7}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -2,25x + 1,75}$$ *Nota: También se puede expresar como $9x + 4y - 7 = 0$*