Integral racional con simplificación previa

Para resolver una integral racional, el primer paso es factorizar el polinomio del denominador $Q(x) = x^3 - 3x + 2$. Buscamos las raíces utilizando la regla de Ruffini. Probamos con los divisores del término independiente ($2$), empezando por $x = 1$: $$ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\\hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} $$ El resto es $0$, por lo que $(x-1)$ es un factor. El cociente es $x^2 + x - 2$. Resolvemos la ecuación de segundo grado para hallar las raíces restantes: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. Por tanto, la factorización del denominador es: $$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$$ 💡 **Tip:** Antes de descomponer en fracciones simples, comprueba siempre si se puede simplificar la expresión factorizando también el numerador.

Factorizamos el numerador $P(x) = x^2 - 1$, que es una diferencia de cuadrados: $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$ Ahora escribimos la fracción original sustituyendo las formas factorizadas: $$\frac{x^2 - 1}{x^3 - 3x + 2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2(x+2)}$$ Podemos simplificar un factor $(x-1)$ en el numerador y el denominador (siempre que $x \neq 1$): $$\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}$$ Esta simplificación reduce significativamente la dificultad, pasando de una integral con raíces múltiples a una con raíces reales simples. $$\boxed{\int \frac{x^2 - 1}{x^3 - 3x + 2} dx = \int \frac{x+1}{(x-1)(x+2)} dx}$$

Aplicamos el método de descomposición para raíces reales simples: $$\frac{x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$$ Igualamos los numeradores: $$x + 1 = A(x+2) + B(x-1)$$ Para hallar los valores de $A$ y $B$, damos valores a $x$ coincidentes con las raíces: - Si **$x = 1$**: $$1 + 1 = A(1 + 2) + B(1 - 1) \implies 2 = 3A \implies A = \frac{2}{3}$$ - Si **$x = -2$**: $$-2 + 1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 1) \implies -1 = -3B \implies B = \frac{1}{3}$$ La descomposición queda: $$\frac{x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{2/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el denominador tiene raíces reales simples, la descomposición siempre tiene la forma $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$.

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la linealidad para separar los términos: $$\int \left( \frac{2/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2} \right) dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+2} dx$$ Ambas integrales son inmediatas de tipo logarítmico: $$\frac{2}{3} \ln|x-1| + \frac{1}{3} \ln|x+2| + C$$ Podemos expresar el resultado final utilizando las propiedades de los logaritmos (opcional): $$\frac{1}{3} (2\ln|x-1| + \ln|x+2|) + C = \frac{1}{3} (\ln|(x-1)^2| + \ln|x+2|) + C = \ln \sqrt[3]{(x-1)^2|x+2|} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{2}{3} \ln|x-1| + \frac{1}{3} \ln|x+2| + C}$$