Cálculo de un parámetro en un límite exponencial

Para resolver el límite, primero evaluamos la expresión sustituyendo $x=0$: $$\lim_{x \to 0} (1 - \text{sen}^2(x))^{\frac{a}{x^2}} = (1 - \text{sen}^2(0))^{\frac{a}{0^2}} = (1-0)^{\frac{a}{0}} = 1^{\infty}$$ Estamos ante una **indeterminación del tipo $1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $1^{\infty}$ se resuelven habitualmente aplicando la propiedad del número $e$: si $\lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)} = 1^{\infty}$, el límite es igual a $e^L$, donde $L = \lim_{x \to x_0} g(x) \cdot (f(x) - 1)$.

Aplicamos la fórmula para transformar el límite exponencial en uno de producto: Sea $L$ el límite del exponente: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{a}{x^2} \cdot ((1 - \text{sen}^2(x)) - 1)$$ Simplificamos la expresión dentro del paréntesis: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{a}{x^2} \cdot (-\text{sen}^2(x)) = \lim_{x \to 0} \frac{-a \cdot \text{sen}^2(x)}{x^2}$$ El límite original será igual a $e^L$. Por tanto, el enunciado nos dice que: $$e^L = 2$$

Calculamos $L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-a \cdot \text{sen}^2(x)}{x^2}$. Al sustituir $x=0$ obtenemos una indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(-a \cdot \text{sen}^2(x))}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-a \cdot 2 \cdot \text{sen}(x) \cdot \cos(x)}{2x}$$ Utilizamos la identidad trigonométrica del ángulo doble $2 \cdot \text{sen}(x) \cos(x) = \text{sen}(2x)$ para simplificar: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{-a \cdot \text{sen}(2x)}{2x}$$ Evaluamos de nuevo: obtenemos $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(-a \cdot \text{sen}(2x))}{\frac{d}{dx}(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-a \cdot 2 \cdot \cos(2x)}{2}$$ Ahora evaluamos el límite cuando $x \to 0$: $$L = \frac{-2a \cdot \cos(0)}{2} = \frac{-2a \cdot 1}{2} = -a$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista.

Retomamos la igualdad planteada en el paso 2: $$e^L = 2$$ Sustituimos el valor hallado $L = -a$: $$e^{-a} = 2$$ Para despejar $a$, aplicamos logaritmos naturales (logaritmos neperianos) en ambos miembros: $$\ln(e^{-a}) = \ln(2)$$ $$-a \cdot \ln(e) = \ln(2)$$ Como $\ln(e) = 1$: $$-a = \ln(2) \implies a = -\ln(2)$$ Dado que $-2 < -\ln(2) < 0$, el valor es aproximadamente $-0.693$, lo cual cumple la condición $a \neq 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -\ln(2)}$$