Continuidad y extremos relativos en funciones a trozos

**a) (1 punto) Determine los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$.** Para que la función sea continua en $\mathbb{R}$, debe serlo en cada una de sus ramas y en el punto de salto $x = 0$. 1. **Rama $x < 0$**: $f(x) = x^3 + bx + 2$ es una función polinómica, por lo que es continua en $(-\infty, 0)$ para cualquier valor de $b$. 2. **Rama $x > 0$**: $f(x) = \frac{\ln(x+1)}{ax}$ es continua en $(0, +\infty)$ siempre que el denominador no sea cero ($ax \neq 0$) y el argumento del logaritmo sea positivo ($x+1 > 0$). Como $x > 0$ y se nos indica que $a \neq 0$, la función es continua en este intervalo. 💡 **Tip:** El estudio de la continuidad en funciones a trozos siempre comienza analizando la continuidad de cada expresión en su dominio de definición respectivo.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(0)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$. Calculamos los límites laterales: - **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} (x^3 + bx + 2) = 0^3 + b(0) + 2 = 2.$$ - **Valor de la función:** $f(0) = 2$. - **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{ax} = \frac{\ln(1)}{0} = \frac{0}{0} \text{ (Indeterminación)}$$ 💡 **Tip:** Cuando obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$ en un límite de funciones derivables, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{ax} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x+1}}{a} = \frac{\frac{1}{0+1}}{a} = \frac{1}{a}.$$ Para que la función sea continua, los límites laterales deben ser iguales: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies 2 = \frac{1}{a} \implies \mathbf{a = \frac{1}{2}}.$$ Como el parámetro $b$ desaparece al evaluar el límite en $x=0$, la continuidad no depende de su valor (siempre que $b \neq 0$ por enunciado). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) (1 punto) Calcule aquellos valores que además hacen que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $x = -1$, y determine el tipo de extremo que es.** El punto $x = -1$ pertenece a la primera rama ($x \le 0$). Para que exista un extremo relativo en un punto donde la función es derivable, su primera derivada debe ser cero ($f'(-1) = 0$). Derivamos la primera rama de la función: $$f(x) = x^3 + bx + 2 \implies f'(x) = 3x^2 + b.$$ Imponemos la condición de extremo relativo: $$f'(-1) = 0 \implies 3(-1)^2 + b = 0 \implies 3 + b = 0 \implies \mathbf{b = -3}.$$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos de una función derivable se encuentran entre los puntos críticos, es decir, donde $f'(x) = 0$.

Para determinar si es un máximo o un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada en $x = -1$. Calculamos la segunda derivada de la primera rama: $$f''(x) = (3x^2 + b)' = 6x.$$ Evaluamos en $x = -1$: $$f''(-1) = 6(-1) = -6.$$ Como **$f''(-1) < 0$**, la función presenta un **máximo relativo** en $x = -1$. También podemos ver el signo de la derivada alrededor de $x = -1$ con $b = -3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) \\\hline f'(x) = 3x^2 - 3 & + & 0 & - \end{array}$$ Como la función pasa de crecer a decrecer, confirmamos que es un máximo. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = -3. \quad \text{Es un máximo relativo.}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\{x \\le 0: x^3 - 3x + 2, x > 0: \\ln(x+1)/(0.5x)\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "extremo", "latex": "(-1, 4)", "showLabel": true, "label": "Máximo relativo" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 3, "bottom": -1, "top": 5 } } }