Área de un triángulo y plano mediador en el espacio

**a) Halla el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$ se define como la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. La fórmula es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Primero, calculamos los componentes de los vectores restando las coordenadas de los puntos: * $\vec{AB} = B - A = (-2 - 1, 4 - 2, -3 - 3) = (-3, 2, -6)$ * $\vec{AC} = C - A = (-10 - 1, 1 - 2, 0 - 3) = (-11, -1, -3)$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector $\vec{PQ}$ se calcula siempre como extremo menos origen: $Q - P$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante de la matriz con los vectores unitarios $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 2 & -6 \\ -11 & -1 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (adjuntos): $$= \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -3 & -6 \\ -11 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ -11 & -1 \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i} [2(-3) - (-6)(-1)] - \mathbf{j} [(-3)(-3) - (-6)(-11)] + \mathbf{k} [(-3)(-1) - 2(-11)]$$ $$= \mathbf{i} (-6 - 6) - \mathbf{j} (9 - 66) + \mathbf{k} (3 + 22)$$ $$= (-12, 57, 25)$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos en el desarrollo del determinante, especialmente el signo negativo que precede a la componente $\mathbf{j}$.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-12)^2 + 57^2 + 25^2} = \sqrt{144 + 3249 + 625} = \sqrt{4018}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{4018}}{2} \approx \frac{63.39}{2} \approx 31.69$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} \approx 31.69 \text{ u}^2}$$

**b) Halla el plano que equidista de $A$ y $B$.** El conjunto de puntos que equidistan de dos puntos dados $A$ y $B$ es el **plano mediador** del segmento $AB$. Este plano tiene dos propiedades fundamentales: 1. Es perpendicular al segmento $AB$ (su vector normal $\vec{n}$ es el vector $\vec{AB}$). 2. Pasa por el punto medio $M$ del segmento $AB$. 💡 **Tip:** Equidistar significa estar a la misma distancia. El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos puntos fijos es siempre un plano.

Hallamos el punto medio $M$ del segmento $AB$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{1 + (-2)}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + (-3)}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, 3, 0 \right)$$ Determinamos el vector normal $\vec{n}$ al plano utilizando el vector director de la recta que une $A$ y $B$: $$\vec{n} = \vec{AB} = (-3, 2, -6)$$ Como cualquier vector proporcional también es normal, podríamos usar $(3, -2, 6)$ si quisiéramos evitar negativos iniciales, pero usaremos el obtenido directamente.

La ecuación de un plano con vector normal $(a, b, c)$ que pasa por un punto $(x_0, y_0, z_0)$ es: $$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$ Sustituimos $\vec{n} = (-3, 2, -6)$ y el punto $M = (-1/2, 3, 0)$: $$-3\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + 2(y - 3) - 6(z - 0) = 0$$ $$-3x - \frac{3}{2} + 2y - 6 - 6z = 0$$ Para eliminar denominadores y simplificar, multiplicamos toda la ecuación por $-2$: $$6x + 3 - 4y + 12 + 12z = 0$$ $$6x - 4y + 12z + 15 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{6x - 4y + 12z + 15 = 0}$$