Plano paralelo a una recta y perpendicularidad

**a) [1,25 puntos] Halla el plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Para definir un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Como el plano contiene a la recta $r$, podemos extraer un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v}_r$ directamente de sus ecuaciones paramétricas: * Un punto de la recta es: $P_r = (2, -1, 3)$. * El vector director es: $\vec{v}_r = (3, 2, 1)$. 💡 **Tip:** En la ecuación paramétrica de la recta $\{x = x_0 + a\lambda, y = y_0 + b\lambda, z = z_0 + c\lambda\}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector director es $(a, b, c)$. $$\boxed{P_r = (2, -1, 3), \quad \vec{v}_r = (3, 2, 1)}$$

La recta $s$ viene dada como la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_s$ es perpendicular a los vectores normales de ambos planos, por lo que se obtiene mediante su producto vectorial. Los vectores normales son: * $\vec{n}_1 = (2, -1, 0)$ * $\vec{n}_2 = (0, 1, 2)$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la primera fila: $$\vec{v}_s = \mathbf{i}(-2 - 0) - \mathbf{j}(4 - 0) + \mathbf{k}(2 - 0) = (-2, -4, 2)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo dividiendo entre 2: $$\vec{v}_s = (-1, -2, 1)$$ $$\boxed{\vec{v}_s = (-1, -2, 1)}$$

Llamemos $\pi$ al plano que buscamos. 1. Como $r \subset \pi$, el vector $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al plano. 2. Como $s \parallel \pi$, el vector $\vec{v}_s$ debe ser paralelo al plano. Por tanto, el vector normal al plano, $\vec{n}_{\pi}$, debe ser perpendicular a ambos vectores directores. Lo hallamos con el producto vectorial: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando: $$\vec{n}_{\pi} = \mathbf{i}(2 - (-2)) - \mathbf{j}(3 - (-1)) + \mathbf{k}(-6 - (-2))$$ $$\vec{n}_{\pi} = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-4) = (4, -4, -4)$$ Simplificamos el vector normal dividiendo entre 4: $$\vec{n}_{\pi} = (1, -1, -1)$$ $$\boxed{\vec{n}_{\pi} = (1, -1, -1)}$$

Con el punto $P_r = (2, -1, 3)$ y el vector normal $\vec{n}_{\pi} = (1, -1, -1)$, aplicamos la ecuación general del plano $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$: $$1(x - 2) - 1(y - (-1)) - 1(z - 3) = 0$$ $$x - 2 - y - 1 - z + 3 = 0$$ Simplificando: $$x - y - z = 0$$ ✅ **Resultado a):** $$\boxed{x - y - z = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a $s$ contiene a $r$.** Analicemos las condiciones geométricas: 1. Si un plano es **perpendicular a la recta $s$**, su vector normal $\vec{n}$ debe ser paralelo al vector director de la recta $s$. Es decir, $\vec{n} = k \cdot \vec{v}_s$. 2. Si un plano **contiene a la recta $r$**, su vector normal $\vec{n}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $r$. Es decir, $\vec{n} \cdot \vec{v}_r = 0$. Para que ambas condiciones se cumplan a la vez, el vector director de $s$ tendría que ser perpendicular al vector director de $r$ (es decir, $\vec{v}_s \cdot \vec{v}_r = 0$). Comprobamos el producto escalar de los vectores directores: * $\vec{v}_r = (3, 2, 1)$ * $\vec{v}_s = (-1, -2, 1)$ $$\vec{v}_s \cdot \vec{v}_r = (-1) \cdot 3 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = -3 - 4 + 1 = -6$$ Como $-6 \neq 0$, los vectores directores no son perpendiculares. Por lo tanto, es imposible que exista un plano que sea simultáneamente perpendicular a $s$ y contenga a $r$. 💡 **Tip:** Si dos rectas no son perpendiculares, no existe ningún plano que sea perpendicular a una y paralelo (o contenga) a la otra. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\text{Como } \vec{v}_s \cdot \vec{v}_r \neq 0, \text{ no existe tal plano.}}$$