Producto de matrices, inversa y rango

**a) Calcula $m$ para que $AB$ no tenga inversa.** Primero calculamos el producto de las matrices $A$ ($2 \times 3$) y $B$ ($3 \times 2$). El resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1 $\times$ Columna 1: $(1)(1) + (-1)(0) + (0)(m) = 1$ - Fila 1 $\times$ Columna 2: $(1)(1) + (-1)(2) + (0)(-1) = 1 - 2 = -1$ - Fila 2 $\times$ Columna 1: $(1)(1) + (m)(0) + (1)(m) = 1 + m$ - Fila 2 $\times$ Columna 2: $(1)(1) + (m)(2) + (1)(-1) = 1 + 2m - 1 = 2m$ Obtenemos la matriz: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ m+1 & 2m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Por tanto, para que $AB$ **no tenga inversa**, su determinante debe ser igual a cero. Calculamos el determinante de $AB$: $$|AB| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ m+1 & 2m \end{vmatrix} = (1)(2m) - (-1)(m+1)$$ $$|AB| = 2m + m + 1 = 3m + 1$$ Igualamos a cero para encontrar el valor de $m$ solicitado: $$3m + 1 = 0 \implies 3m = -1 \implies m = -\frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -\frac{1}{3}}$$

**b) Estudia el rango de la matriz $BA$ según los valores de $m$.** Calculamos ahora el producto $BA$, multiplicando $B$ ($3 \times 2$) por $A$ ($2 \times 3$). El resultado será una matriz cuadrada de dimensión $3 \times 3$. $$BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto: - Fila 1: $\begin{pmatrix} 1+1 & -1+m & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & m-1 & 1 \end{pmatrix}$ - Fila 2: $\begin{pmatrix} 0+2 & 0+2m & 0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2m & 2 \end{pmatrix}$ - Fila 3: $\begin{pmatrix} m-1 & -m-m & 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m-1 & -2m & -1 \end{pmatrix}$ La matriz resultante es: $$BA = \begin{pmatrix} 2 & m-1 & 1 \\ 2 & 2m & 2 \\ m-1 & -2m & -1 \end{pmatrix}$$

Calculamos el determinante de $BA$ mediante la regla de Sarrus: $$|BA| = \begin{vmatrix} 2 & m-1 & 1 \\ 2 & 2m & 2 \\ m-1 & -2m & -1 \end{vmatrix}$$ $$|BA| = [2(2m)(-1) + (m-1)(2)(m-1) + (1)(2)(-2m)] - [1(2m)(m-1) + 2(2)(-2m) + (m-1)(2)(-1)]$$ $$|BA| = [-4m + 2(m^2 - 2m + 1) - 4m] - [2m(m-1) - 8m - 2(m-1)]$$ $$|BA| = [2m^2 - 12m + 2] - [2m^2 - 2m - 8m - 2m + 2]$$ $$|BA| = 2m^2 - 12m + 2 - (2m^2 - 12m + 2) = 0$$ Como el determinante es **cero para cualquier valor de $m$**, sabemos que el rango de $BA$ será menor que 3. 💡 **Tip:** Existe una propiedad que dice que $rg(BA) \le \min(rg(B), rg(A))$. Como $A$ y $B$ tienen como mucho rango 2, el rango del producto $BA$ no puede ser 3, lo que justifica que el determinante sea siempre 0.

Para determinar si el rango es 2 o inferior, buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero. Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las filas 1 y 2, y las columnas 1 y 3: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2 \neq 0$$ Este menor es distinto de cero y **no depende de $m$**. Esto significa que siempre existen al menos dos filas y dos columnas linealmente independientes. Por tanto, el rango de la matriz es siempre 2, independientemente del valor que tome el parámetro $m$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{rg(BA) = 2 \text{ para cualquier } m \in \mathbb{R}}$$