Rango de una matriz con parámetros y resolución de un sistema homogéneo

**a) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz $A - \lambda I$ según los valores de $\lambda$.** En primer lugar, construimos la matriz $A - \lambda I$ restando $\lambda$ a los elementos de la diagonal principal de $A$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 & 2 \\ -1 & 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $I$ es la matriz identidad y $\lambda I$ es una matriz con $\lambda$ en su diagonal y ceros en el resto.

Para estudiar el rango, calculamos el determinante de la matriz resultante e igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$. $$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 0 & 2 \\ -1 & 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 4 - \lambda \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (ya que contiene un cero): $$|A - \lambda I| = (2 - \lambda) \cdot \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} - 0 + 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 - \lambda \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A - \lambda I| = (2 - \lambda) [(2 - \lambda)(4 - \lambda) - 1] + 2 [-1 - 0]$$ $$|A - \lambda I| = (2 - \lambda) [\lambda^2 - 6\lambda + 8 - 1] - 2$$ $$|A - \lambda I| = (2 - \lambda) (\lambda^2 - 6\lambda + 7) - 2$$ $$|A - \lambda I| = 2\lambda^2 - 12\lambda + 14 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 7\lambda - 2$$ $$|A - \lambda I| = -\lambda^3 + 8\lambda^2 - 19\lambda + 12$$ 💡 **Tip:** El polinomio resultante se conoce como polinomio característico de la matriz $A$.

Igualamos el polinomio a cero: $-\lambda^3 + 8\lambda^2 - 19\lambda + 12 = 0$. Probamos divisores del término independiente ($12$): para $\lambda = 1$, tenemos $-1 + 8 - 19 + 12 = 0$. Aplicamos la regla de Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 8 & -19 & 12 \\ 1 & & -1 & 7 & -12 \\\hline & -1 & 7 & -12 & 0 \end{array}$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado restante $-\lambda^2 + 7\lambda - 12 = 0$: $$\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{-2} = \frac{-7 \pm 1}{-2} \implies \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 4$$ Las raíces son **$\lambda = 1$**, **$\lambda = 3$** y **$\lambda = 4$**.

Analizamos el rango de $A - \lambda I$ según los valores hallados: * **Caso 1: $\lambda \neq 1, \lambda \neq 3$ y $\lambda \neq 4$** El determinante es distinto de cero, por lo tanto, la matriz es regular y el rango es máximo. $$\text{rango}(A - \lambda I) = 3$$ * **Caso 2: $\lambda = 1, \lambda = 3$ o $\lambda = 4$** El determinante es cero, por lo que el rango es menor que 3. En cualquiera de estos casos, podemos encontrar un menor de orden 2 no nulo. Por ejemplo, tomando las dos primeras columnas y filas de $A - \lambda I$: Si $\lambda = 1$, la matriz es $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \notin \{1, 3, 4\}, \text{rango}(A - \lambda I) = 3 \\ \text{Si } \lambda \in \{1, 3, 4\}, \text{rango}(A - \lambda I) = 2 \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Resuelve el sistema $(A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ y encuentra la solución en la que $x = 2$.** Sustituimos $\lambda = 1$ en la matriz $A - \lambda I$ obtenida anteriormente: $$A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ El sistema homogéneo es: 1. $x + 2z = 0$ 2. $-x + y + z = 0$ 3. $y + 3z = 0$ Como el rango es 2, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). La tercera ecuación es redundante ($E_3 = E_1 + E_2$). 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible. Si el determinante de la matriz es cero, tendrá infinitas soluciones.

Resolvemos el sistema en función de un parámetro $t$. Sea $z = t$: De la ecuación 1: $x = -2z \implies x = -2t$ De la ecuación 3: $y = -3z \implies y = -3t$ La solución general es: **$(x, y, z) = (-2t, -3t, t)$** para cualquier $t \in \mathbb{R}$. Para hallar la solución particular donde **$x = 2$**: $$-2t = 2 \implies t = -1$$ Sustituimos el valor de $t = -1$ para hallar $y$ y $z$: $y = -3(-1) = 3$ $z = -1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Solución general: } (-2t, -3t, t) \quad \text{Solución para } x=2: (2, 3, -1)}$$