Área de un recinto delimitado por una función con valor absoluto y una parábola

**a) Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan. (1 punto)** En primer lugar, expresamos la función $f(x) = |x| - 2$ como una función definida a trozos para facilitar los cálculos: $$f(x) = \begin{cases} -x - 2 & \text{si } x < 0 \\ x - 2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$ en cada tramo: 1. **Si $x \ge 0$:** $$x - 2 = 4 - x^2 \implies x^2 + x - 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ Obtenemos $x = 2$ y $x = -3$. Como estamos en el tramo $x \ge 0$, solo es válida **$x = 2$**. 2. **Si $x < 0$:** $$-x - 2 = 4 - x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Obtenemos $x = 3$ y $x = -2$. Como estamos en el tramo $x < 0$, solo es válida **$x = -2$**. Los puntos de corte son $(-2, 0)$ y $(2, 0)$, ya que $g(2) = 4 - 2^2 = 0$ y $g(-2) = 4 - (-2)^2 = 0$. 💡 **Tip:** Observa que ambas funciones son pares, ya que $f(x) = f(-x)$ y $g(x) = g(-x)$. Esto implica que la gráfica será simétrica respecto al eje $Y$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1(-2, 0), \quad P_2(2, 0)}$$

Para esbozar el recinto, tenemos en cuenta que: - $g(x) = 4 - x^2$ es una parábola con vértice en $(0, 4)$ que abre hacia abajo. - $f(x) = |x| - 2$ tiene forma de "V" con el vértice en $(0, -2)$ y ramas con pendientes $1$ y $-1$. En el intervalo $[-2, 2]$, la parábola $g(x)$ está siempre por encima de la función $f(x)$. ✅ **Esbozo:**

**b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)** El área $A$ del recinto delimitado por las dos gráficas viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones (función superior menos función inferior) entre los puntos de corte: $$A = \int_{-2}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2 - (|x| - 2)) \, dx$$ Debido a la **simetría par** de ambas funciones, el área a la izquierda del eje $Y$ es igual al área a la derecha. Podemos simplificar el cálculo integrando de $0$ a $2$ y multiplicando por $2$: $$A = 2 \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx$$ En el intervalo $[0, 2]$, tenemos que $f(x) = x - 2$, por lo que: $$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2 - (x - 2)) \, dx = 2 \int_{0}^{2} (6 - x^2 - x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Utilizar la simetría en integrales definidas ahorra tiempo y reduce la probabilidad de cometer errores con los signos negativos.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (6 - x^2 - x) \, dx = 6x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 2]$: $$A = 2 \left[ 6x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$A = 2 \left[ \left( 6(2) - \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} \right) - (0) \right]$$ $$A = 2 \left[ 12 - \frac{8}{3} - 2 \right] = 2 \left[ 10 - \frac{8}{3} \right]$$ $$A = 2 \left[ \frac{30 - 8}{3} \right] = 2 \left( \frac{22}{3} \right) = \frac{44}{3}$$ El área total es de $\frac{44}{3}$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{44}{3} \text{ u}^2 \approx 14.67 \text{ u}^2}$$