Integral definida de funciones trigonométricas cuadráticas

**Calcula $\int_{0}^{\pi/2} (2 \operatorname{sen}^{2}(x) - \cos^{2}(x)) \, dx$.** Para resolver una integral con potencias pares de seno y coseno, es útil utilizar las fórmulas del ángulo doble para linealizar la expresión: $$\operatorname{sen}^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$ $$\cos^{2}(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$ Sustituimos estas expresiones en la función integrando: $$f(x) = 2 \left( \frac{1 - \cos(2x)}{2} \right) - \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)$$ $$f(x) = (1 - \cos(2x)) - \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2}$$ $$f(x) = 1 - \frac{1}{2} - \cos(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x)$$ $$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las identidades del ángulo doble $\cos(2x) = \cos^2x - \operatorname{sen}^2x$ permiten derivar estas fórmulas rápidamente despejando el término deseado. $$\boxed{f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x)}$$

Calculamos la primitiva de la función simplificada utilizando la linealidad de la integral: $$\int \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x) \right) dx = \int \frac{1}{2} dx - \int \frac{3}{2}\cos(2x) dx$$ La primera es inmediata: $$\int \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}x$$ Para la segunda, aplicamos el cambio de variable implícito o ajuste de constantes para funciones compuestas: $$\int \frac{3}{2}\cos(2x) dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) = \frac{3}{4} \operatorname{sen}(2x)$$ Por tanto, la primitiva $F(x)$ es: $$F(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} \operatorname{sen}(2x)$$ 💡 **Tip:** No olvides que al integrar $\cos(kx)$, el resultado es $\frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)$. $$\boxed{F(x) = \frac{x}{2} - \frac{3\operatorname{sen}(2x)}{4}}$$

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites de integración $0$ y $\pi/2$: $$\int_{0}^{\pi/2} (2 \operatorname{sen}^{2}(x) - \cos^{2}(x)) \, dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{3\operatorname{sen}(2x)}{4} \right]_{0}^{\pi/2}$$ Calculamos el valor en el límite superior: $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi/2}{2} - \frac{3\operatorname{sen}(2 \cdot \frac{\pi}{2})}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{3\operatorname{sen}(\pi)}{4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$$ Calculamos el valor en el límite inferior: $$F(0) = \frac{0}{2} - \frac{3\operatorname{sen}(0)}{4} = 0 - 0 = 0$$ Restamos los resultados: $$I = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con los valores trigonométricos en los ejes; $\operatorname{sen}(\pi) = 0$ y $\operatorname{sen}(0) = 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{\pi}{4}}$$