Asíntotas y monotonía de una función exponencial

**a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1.25 puntos)** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$. El denominador es $e^{2x} + 1$. Sabemos que la función exponencial $e^{2x}$ siempre es positiva para cualquier $x \in \mathbb{R}$. Por tanto: $$e^{2x} + 1 > 0 + 1 = 1$$ Como el denominador nunca se anula, el dominio es todo el conjunto de los números reales: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Al ser una función continua en todo su dominio y no tener puntos de discontinuidad, concluimos que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$ 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen aparecer en los valores de $x$ donde el denominador se hace cero. Si el denominador es siempre positivo, no hay saltos infinitos.

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites de la función cuando $x \to \infty$ y cuando $x \to -\infty$. * **Límite cuando $x \to \infty$:** $$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$ Dividimos numerador y denominador por $e^{2x}$ para resolver la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{e^{2x}}}{1 + \frac{1}{e^{2x}}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$ Esto indica que existe una asíntota horizontal en **$y = 1$** por la derecha. * **Límite cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$ Como $\lim_{x \to -\infty} e^{2x} = 0$, sustituimos directamente: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$$ Esto indica que existe una asíntota horizontal en **$y = -1$** por la izquierda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AH en } y = 1 \text{ cuando } x \to \infty \text{ y } y = -1 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

Dado que hemos encontrado asíntotas horizontales tanto cuando $x \to \infty$ como cuando $x \to -\infty$, la función no puede tener asíntotas oblicuas en ninguna de las dos direcciones. 💡 **Tip:** Recuerda que la existencia de una asíntota horizontal excluye automáticamente la existencia de una asíntota oblicua en el mismo sentido del infinito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

**b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1.25 puntos)** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), debemos calcular la derivada $f'(x)$ y analizar su signo. Utilizamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Sea $u = e^{2x} - 1 \implies u' = 2e^{2x}$ y $v = e^{2x} + 1 \implies v' = 2e^{2x}$. $$f'(x) = \frac{2e^{2x}(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - 2e^{4x} + 2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Al derivar $e^{2x}$, no olvides aplicar la regla de la cadena: $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$ para determinar los intervalos de crecimiento. 1. El numerador $4e^{2x}$ es siempre positivo ($> 0$) para todo $x \in \mathbb{R}$. 2. El denominador $(e^{2x} + 1)^2$ es un cuadrado de una expresión distinta de cero, por lo que siempre es positivo ($> 0$). Como el cociente de dos números positivos es siempre positivo, $f'(x) > 0$ para cualquier valor de $x$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|c} x & (-\infty, +\infty) \\\hline f'(x) & + \\\hline f(x) & \nearrow \end{array}$$ Como la derivada es positiva en todo el dominio, la función es estrictamente creciente en toda la recta real. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, +\infty). \text{ No tiene intervalos de decrecimiento.}}$$