Continuidad de una función a trozos con parámetros

Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio ($\mathbb{R}$), debe ser continua en los puntos donde cambia su definición (puntos de salto entre ramas), es decir, en $x = 0$ y en $x = 1$. La condición de continuidad en un punto $x = c$ es: $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si es continua en cada intervalo y además los límites laterales coinciden en los puntos de unión.

Analizamos el límite por la izquierda y por la derecha en $x = 0$: * **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(e^x + x^3)}{x}$$ Al evaluar, obtenemos la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ ya que $\ln(e^0 + 0) = \ln(1) = 0$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(e^x + x^3)]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{e^x + 3x^2}{e^x + x^3}}{1} = \frac{e^0 + 3(0)^2}{e^0 + 0^3} = \frac{1}{1} = 1$$ * **Límite por la derecha y valor de la función ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} (4x^2 + a) = 4(0)^2 + a = a \implies f(0) = a$$ Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$1 = a \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$. $$\boxed{a = 1}$$

Analizamos la continuidad en $x = 1$ utilizando el valor de $a = 1$ hallado anteriormente: * **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (4x^2 + 1) = 4(1)^2 + 1 = 5$$ * **Límite por la derecha y valor de la función ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (b + \text{sen}(\pi x)) = b + \text{sen}(\pi) = b + 0 = b$$ $$f(1) = b + \text{sen}(\pi) = b$$ Igualamos para asegurar la continuidad: $$5 = b \implies \mathbf{b = 5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en radianes, $\text{sen}(\pi) = 0$ y $\cos(\pi) = -1$. $$\boxed{b = 5}$$