Intersección de rectas y determinación de un parámetro

**a) Halla el valor del parámetro $a$ sabiendo que las rectas se cortan en un punto.** Primero extraemos el punto y el vector director de la recta $r$, que viene dada en forma continua: $$r \equiv rac{x + 3}{2} = rac{y + 4}{2} = rac{z - 3}{3}$$ De los denominadores obtenemos el vector director $\vec{v_r} = (2, 2, 3)$ y de los numeradores un punto $R(-3, -4, 3)$. Expresamos la recta en sus **ecuaciones paramétricas** usando el parámetro $\lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = -3 + 2\lambda \\ y = -4 + 2\lambda \\ z = 3 + 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la forma continua es $\frac{x-x_0}{v_1} = rac{y-y_0}{v_2} = rac{z-z_0}{v_3}$, donde $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto y $(v_1, v_2, v_3)$ es el vector director.

La recta $s$ pasa por $P(1, 0, 2)$ y $Q(a, 1, 0)$. Su vector director $\vec{v_s}$ será el vector que une ambos puntos: $$\vec{v_s} = \vec{PQ} = (a - 1, 1 - 0, 0 - 2) = (a - 1, 1, -2)$$ Utilizando el punto $P(1, 0, 2)$ y el parámetro $\mu$, escribimos sus ecuaciones paramétricas: $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + (a - 1)\mu \\ y = \mu \\ z = 2 - 2\mu \end{cases}$$ $$\boxed{\vec{v_s} = (a - 1, 1, -2)}$$

Si las rectas se cortan en un punto, las coordenadas $(x, y, z)$ deben coincidir para ciertos valores de $\lambda$ y $\mu$. Igualamos las ecuaciones paramétricas de $r$ y $s$: 1. $-3 + 2\lambda = 1 + (a - 1)\mu$ 2. $-4 + 2\lambda = \mu$ 3. $3 + 3\lambda = 2 - 2\mu$ Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ($\lambda, \mu, a$). Resolveremos primero el sistema formado por las ecuaciones (2) y (3) que no dependen de $a$.

Sustituimos el valor de $\mu$ de la ecuación (2) en la ecuación (3): $$3 + 3\lambda = 2 - 2(-4 + 2\lambda)$$ $$3 + 3\lambda = 2 + 8 - 4\lambda$$ $$3\lambda + 4\lambda = 10 - 3 \implies 7\lambda = 7 \implies \mathbf{\lambda = 1}$$ Ahora calculamos $\mu$ sustituyendo $\lambda = 1$ en la ecuación (2): $$\mu = -4 + 2(1) = -4 + 2 \implies \mathbf{\mu = -2}$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas, siempre es preferible despejar la incógnita más sencilla o usar el método de sustitución si una ya está despejada.

**b) Calcula las coordenadas del punto de corte.** Sustituimos el valor hallado $\lambda = 1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$x = -3 + 2(1) = -1$$ $$y = -4 + 2(1) = -2$$ $$z = 3 + 3(1) = 6$$ O bien, podemos comprobarlo con $\mu = -2$ en la recta $s$ (para $y$ y $z$): $$y = -2$$ $$z = 2 - 2(-2) = 2 + 4 = 6$$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{C(-1, -2, 6)}$$

Finalmente, utilizamos la ecuación (1) que habíamos reservado para encontrar el valor de $a$: $$-3 + 2\lambda = 1 + (a - 1)\mu$$ Sustituimos $\lambda = 1$ y $\mu = -2$: $$-3 + 2(1) = 1 + (a - 1)(-2)$$ $$-1 = 1 - 2(a - 1)$$ $$-2 = -2(a - 1)$$ Dividiendo entre $-2$ en ambos lados: $$1 = a - 1 \implies \mathbf{a = 2}$$ ✅ **Resultado (Valor de a):** $$\boxed{a = 2}$$